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1、2007年江苏省高中数学奥林匹克冬令营测试题（二）2006.12.13江苏省 市 中学 年级 姓名 考生注意：本场考试时间3个小时，每题21分，满分共63分.题号一二三总 分得分评分人 一、已知实数x,y,z满足x+y+z=1，x,y,z0,当a满足什么条件时，函数xy+yz+zx-axyz在x=y=z=处达到极大值.解 令f(x,y,z)=xy+yz+zx-axyz 当z不动时，f(x,y,z)=xy（1 az）+z（y+x）3分（1）若1 az0,则f(x,y,z)（1 az）+z（y+x） =1-（a-2）z +（2a-3）z2-az3令g(z) =1-（a-2）z +（2a-3）z2-
2、az3 6分对g(z) =1-（a-2）z +（2a-3）z2-az3求导得g(z) 在处达到极大值所以a2,则必有。所以，从而a3. 12分（2）若1 az1的整数解 3分若p2，p为奇数，则2 p+3 p2 p+（-2）p 2p(1p+(-1)p) 0(mod5) 6分若n1,则52xn,所以有522 p+3 p 9分注意到27=1283(mod53)所以02 p+3 p(mod52)2 p+2 7p(mod52)2 p（1+2 6p）(mod52)所以26p-1(mod52),212p1(mod52) 15分2122145+1(mod52)212p(45+1)p45C1P+1P(mod5
3、2) 4P5+1(mod52)所以上式模25余1，当且仅当p=5. 18分此时25+35=32+243=275=5211xn(n1)所以原方程无正整数解且p为素数. 21分三、求所有正整数组(a,b,c)，使得a3+b3+c3可以被a2b,b2c,c2a整除.解：由于条件知是三次齐次的形式，故可以设（a,b,c）=1如果有素数p，pa,pb由于pa3+b3+c3，故pc,不可能。 3分由a2a3+b3+c3, b2a3+b3+c3, c2a3+b3+c3得a2b2c2a3+b3+c3.6分令，nN+不妨设abc由c2a3+b3得，从而9分所以若a2,则nb),那么n,不可能有解等价于实际上，892=7201，14448=6912。所以b=1或2 18分当a=1,b=1时，c213+13=2,故c=1,当a=1,b=2时，c213+23=9,故c=3.所以原题所求的(a,b,c)为（k,k,k）及（k,2k,3k）的所有排列，kN+ 21分3第 3 页 共 3 页
