2021年高考数学压轴讲与练 专题10 数列与不等式的综合问题(原卷版).doc

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1、专题10 数列与不等式的综合问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题,考查常以数列的相关项以及关系式,或数列的前n项和与第n项的关系入手,结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开,求解数列的通项、前n项和,有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合数列与不等式的结合,一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的

2、不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式;放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到;比较方法:作差或者作商比较【压轴典例】例1(2020全国高三专题练习)已知数列是以为首项,为公差的等差数列,是以为首项,为公比的等比数列,设,则当时,的最小值是( )A9B10C11D12例2(2021浙江绍兴市高三期末)设是无穷数列,若存在正整数,使得对任意,均有,则称是间隔递增数列,是的间隔数.若是间隔递增数列,且最小间隔数是3,则实数的取值范围是( )ABCD例3.(2020江西师大附中高考模拟)数列中的项按顺序可以排成如图的形式,第一行项,排;第二行项,从左到右分

3、别排,;第三行项,依此类推,设数列的前项和为,则满足的最小正整数的值为()ABCD例4(2020长沙市湖南师大附中高三)已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线,切点为.则下列结论正确的是( )A数列的通项为 B数列的通项为C当时, D例5(2020深圳实验学校高中部高三)设为等比数列的前项和,满足,且,成等差数列,则下列结论正确的是( )A BC若数列中存在两项,使得,则的最小值为D若恒成立,则的最小值为例6. (2018江苏高考真题)已知集合,将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前n项和,则使得成立的n的最小值为_例7(2020河南洛阳高三模拟)记首项为,公差为的等差数列的前项和为

4、,若,且,则实数的取值范围为_例8(2019四川重庆南开中学高考模拟)在正项递增等比数列中,记,则使得成立的最大正整数为_例9.(2020浙江高考T20)已知数列an,bn,cn中,a1=b1=c1=1,cn=an+1-an,cn+1=cn(nN*).()若数列bn为等比数列,且公比q0,且b1+b2=6b3,求q与an的通项公式;()若数列bn为等差数列,且公差d0,证明:c1+c2+cn1+.例10.(2019浙江高考T20)设等差数列an的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3,数列bn满足:对每个nN*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.(1)求数列an,bn的通项公

5、式.【压轴训练】1(2021上海松江区高三一模)记为数列的前项和,已知点在直线上,若有且只有两个正整数n满足,则实数k的取值范围是( )ABCD2(2020上海高三专题练习)若数列满足,且,若使不等式成立的有且只有三项,则的取值范围为( )ABCD3. (2020安徽合肥高三)设是等差数列,下列结论一定正确的是( )A若,则B若,则C若,则D若,则4(2020浙江杭州高三)已知等差数列的前项和是,公差不等于零,若成等比数列,则A BC D5(2020山东高考模拟)已知正项等比数列满足,若存在两项,使得,则的最小值为_6()2020浙江宁波市高三期中)已知数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通

6、项公式;(2)求证,7(2020安徽高考模拟)已知数列的各项均为正数,记为的前项和,若 ,则使不等式成立的的最小值是_.8(2020甘肃天水一中高考模拟)已知数列满足,那么成立的的最大值为_9(2020河北高考模拟(理)已知数列的前项和为,且,若,则取最小值时_.10(2020全国高三专题练习)已知数列是各项均为正数的等差数列,其中,且成等比数列;数列的前项和为,满足.(1)求数列、的通项公式;(2)如果,设数列的前项和为,是否存在正整数,使得成立,若存在,求出的最小值,若不存在,说明理由.11(2020浙江金华市高三)已知为公差不为的等差数列,是等比数列的前项和,若是和的等比中项,.(1)求及;(2)证明:.12(2020天津高考模拟)已知单调等比数列,首项为,其前项和是,且,成等差数列,数列满足条件(1)求数列、的通项公式;(2)设,记数列的前项和是.求;求正整数,使得对任意,均有.13(2020广东高考模拟)已知数列满足.(1)求和的通项公式;(2)记数列的前项和为,若对任意的正整数恒成立,求实数的取值范围14. 设数列满足,其中为实数.()证明:对任意成立的充分必要条件是,()设,证明:;()设,证明:15. 已知曲线从点向曲线引斜率为的切线,切点为(1)求数列的通项公式;(2)证明:.

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