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1、数学基础知识与典型例题 第六章不等式不 等 式 知 识 关 系 表不等武实数大小比较T轼辜扯韦匚腐爭式迪團卜一|翳 旦 辺再L|可厂年刮普0gL-L*芈 悴型齬 搭歼一| _ J琴氐虻晅厂f五哺璋斤活恫股璃舉” 一I製我絆*錚怔|IS匍超烟*SKr捨韻创磊圧肄垃目卜卜赋】馆斤鲂械盂1 IK li It trt S程皎粘饵1.定理1:如果a,b x|x是正实数，那么a b ab （当且仅当a=b时取“=”号）2注:该不等式可推出：当a、b为正数时,（当且仅当a亠b221 1+_a ba = b时取“=”号)即:平方平均数算术平均数几何平均数调和平 均数不 等 式 的 性 质不等式的性质（对称性或
2、反身性）a . b ：= b ： a ;（传递性）a b, b .c= a . c ;（可加性）ab = a c b c,此法则又称为移项法则； （同向可相加）a b， c .d=a，c b d（可乘性）a .b, c .O=ac .be； a b，c ：0= ac ：bc. （正数同向可相乘）a b - 0， c - d 0 = ac bd（乘方法则）a b - 0（ nN） ：= an - bn 0（开方法则）a ? b , 0 n 三 N ,n 2） ：= ：a , b ,01 1（倒数法则）a - b, ab 0 =-a b掌握不等式的性质，应注意：条件与结论间的对应关系， 是“ =
3、”符号还是“：二”符号；运用不等式性质的关键是 不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形，虽然这些变形都很简单，但却是我们今后研究和认识不等式的基本 手段.例1.“ a+b2c成立的一个充分条件是（）（A）ac 或 bc （B） ac 且 bc 且 bc （D） ac 或 bb,下列式子中 1 b3;a b lg（ a21） lg（ b2 1）; 2a 2b,正确的有（）（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个例 3.、8 - 6与” 7 -、一 5 的大 小关系为.例4.设n乜1 ,且n = 1,则 n 3 T与n2 n的大小关系 是.
4、例 5.已知满足-1 卩 1 一-,试求二匕：1 W 二 2 - a b ab由 a3加 3+c33abc = （a +b +c）（a2 +b2 +c2ab ac be） 可推出 ab 3 c? 3abc（a ：卜b：卜c p、0等 式即可成立，a=b=c或aOb - c = 0时取等）;如果a,b,cx|x是正实数，那么a_b p盂.3（当且仅当a=b=c时取“=”号）3.绝对值不等式： a| b a-b 0时，取等号) a1 a2 a3 匕 |a1 - a2 - a3注：均值不等式可以用来求最值 （积定和小，和 定积大）,但特别要注意条件的满足： 一正、二定、三 相等.例 6.a0 且 b
5、0是a b ab 2-的（）（A）充分而非必要条件（B）必要而非充要条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件例 7.若 f (X) = log 1 x ,2a= f -), g= f(/a?5,2H= f ( 2ab )，其中 a,b迂 R+， a + b则A,G,H的大小关系是()(A) Aw GW H( B) AW H G(C) H w G A( D) G H w A例 8.若a,b,cR ,且1 1 1a b c = 1，那么_亠_亠有 a b c最小值()(A)6(B)9(C)4(D)3例 9.不等式 y = x(1-3x) (0X0 (或0(或a 0)或ULLck或 0) g (
6、x )g (x)要正确运用以下同解原理。(或 0)与 f(X)g (x(或 0 同解不等式组)g(x Y0g X .亍0或 fx g x X的|2 十 x |2 + x解集是()(A)(-2, 0)(B) -2,0(C)R(D)(-：,2)(-2,二)(3)无理不等式：将无理不等式变形为与它同解的 不等式组。不等式.7 g x的同解不等式组是g x 0f x 0f_g或 g X ：0f x A 0不等式.f x g x的同解不等式组是(4)指数、对数不等式指数不等式a - (a0且a 1的同解不等式：当 a -1 时，为 f x g x ;当 0 : a ： 1 时，为 f x : g x .
7、例13.不等式 5 _x A x 1 的解集是()(A) x | -4 x 1(B) x|x -1(C) x|x 1(D ) x | -1 W x W 1log 1 X,例14.不等式x 2 :J的解集X是()(A) x|1 x 2 或 x 1(C) -(D) x0 C x 1 或 x A 2不 等 式 解 法对数不等式log a f(xplogag(xaA0且a式1)的 同解不等式：f X)0当a 1时，为 丿;，g(xp0f XpgX) f fx、0当0 a c 1时，为丿耳 g(x)A0 hxFg(x)因此，在解指数、对数不等式时，首先要注意 利用对数的性质化为同底不等式.(5)绝对值不
8、等式解绝对值不等式关键是化为等价的不含绝对值 符号的不等式(组)，主要方法：|f(x/a二 f(xpa或 f(x)ca；|f(xa= 一 af(x)g(x)丁对含有几个绝对值符号的不等式，用分区间的 方法化为等价的不含绝对值的不等式组。注:绝对值的几何意义：x表示数轴上的数 X对应的点与原点的距离.X-a表示数轴上的数 X对应的点与数 a对 应的点的距离.(6)含字母系数的不等式 对上述各类不等式，都可能涉及到不等式中的 字母系数，解不等式时，对字母的取值要进行恰当 的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行 求解。注：解不等式是求定义域、值域、参数的取值 范围时的重要手段，与“等式变形”并
9、列的“不等 式的变形”，是研究数学的基本手段之一。例15.不等式lg(x21) 1的解住B.集是.例16. 解不等式1lg( x一)c 0.X例17.解关于x的不等式22x + (a 1)x + 32 1.x + ax不 等 式 的不等式的证明1.证明不等式的基本依据：(1) 实数大小的比较原则；(2) 不等式的性质；(3) 几个重要不等式，特别是算术 一一几何平 均值不等式例18.已知x R,2+、小2x 2x 1小求证：2W 20吕ab，欲证ab只需证a b0; 作商比较，要点是：作商变形判断。这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式” 的符号一定。,a当 b0 时，ab= 1 。b比较法
10、是证明不等式的基本方法，也是最重要 的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幕、方根等）。分析法：就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充 分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止。 对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法 探究证明途径。这种方法的实质是“充分条件”的化简。分析法证明不等式的逻辑关系是：B U BtU B2 U U Bn U A .分析法的思维特点是：执果索因 -综合法：就是从已知的不等式及题设条件出发， 运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形） 推导出要求证明的不等式。用综合法证明不等式的关键是适当选择一个已 知的不等式，从此出发推出所证结果，怎样选择已 知的不等式就适当呢？ 一般有两条途径。（1）从分析法找思路，（2）从 重要不等式”，特别是平均值 不等式找思路。用综合法证明不等式的逻辑关系是：A nb2 二n Bn 二 B .综合法的思维特点是：由因导果 -例 19.若 a 0, b 0, c 0, 求证:Ja2 +b2 +Jb2 +c2 +Jc2 +a2 172(a + b +c).例 20.设 a , b, X, y E R ,且2 亠，2 2 亠 2 + a + b =1,x+ y =1, 求证:ax +
