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1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)多面体体积的统一公式拟柱体的体积公式和应用 所有顶点均在两个平行的平面上,侧面是三角形或梯形的几何体称为拟柱,平行的两面称为底,两底间的距离叫做高,与两底平行且等距的截面称为中截面;拟柱包含棱柱和棱锥等多面体,拟柱体的体积公式可统一这些多面体的体积公式.母题结构:己知拟柱体的两底面积分别为S1,S2,中截面面积为S0,高为h,则拟柱体的体积V=(S1+4S0+S2).母题解析:拟柱体的体积公式是一个计算多面体体体积的统一公式(证明略),例如它包括棱台的体积公式:V=(S1+S2+)(这是因为
2、=V=(S1+4S0+S2)=S1+4()2+S2=(S1+S2+). 1.棱台体积 子题类型:(1991年全国高考试题)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是450,那么这个正三棱台的体积等于 .解析:如图.由上底面边长为2S上=,=;由下底面边长为4S下=4,OC=CF=;由侧棱与底面所成的角是450CF=450高h=F=正三棱台的体积=(+2+4)=.点评:若台体的上、下底面的面积分别为S1、S2,高为h,则台体的体积V=(S1+S2+).台体的体积公式是拟柱的体积公式的特例,拟柱体的体积公式具有根本性和一般性,可统一所有的体积公式. 2.一个推论 子题类型:
3、(1999年全国高考试题)如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EFAB,EF=,EF与面AC的距离为2,则该多面体的体积为( ) (A) (B)5 (C)6 (D)解析:把多面体ABCDEF视为拟柱体,则高h=2,上底面积S上=0,下底面积S下=9,中截面是矩形,边长分别为AD=、(AB+EF)=S中=体积V=h(S上+4S中+S下)=2(0+4+9)=.故选(D).点评:在多面体ABCDEF中,若ABCD是边长分别为a、b的矩形,EFAB,EF=c,EF到平面ABCD的距离为d,则该多面体的体积V=(2ab+bc)d;特别的,棱柱中,一个侧面面积为S,另一侧棱与该
4、侧面的距离为d,则三棱柱的体积=Sd. 3.拟柱体积 子题类型:(2012年江西高考试题)如图,已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点,过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分,记E=x(0x1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y=V(x)的图像大致为( )解析:由棱长都为1VS-ABCD=,AC=ASSCAS截面;当0x时,设截面分别与SB、AB、AD、SD交于点F、G、H、R,由SEEF,BSC=600EF=x,SF=2xBF=1-2xFG=BG=1-2xAG=2xGH=2x多边形EFGHR的面积=矩形FGHR的面积+EFR的面积=2x(1-2x)+x
5、2=x(2-3x)中截面的面积=x(1-x)+x2=x(1-x)上部分拟柱体的体积=0+4x(1-x)+x(2-3x)=x2(1-x)V(x)=-x2(1-x);当x1时,设截面分别与BC、CD交于点F、G,则EF=(1-x)CF=2(1-x)FG=2(1-x)V(x)=x(1-x)2.故选(A).点评:使用拟柱体的体积求体积,首先要根据拟柱体的定义,判断所求体积的几何体是否为拟柱体;求体积的关键是作出中截面,判断形状,并求其面积S0. 4.子题系列:1.(1994年全国高考试题)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为( )(A)32 (B)28 (C)24 (D)202
6、.(2003年安徽春招试题)已知斜三棱柱侧棱的长为6cm,两个侧面面积分别为48cm2和24cm2,且这两侧面所成的角为600,那么,这个棱柱的体积为( ) (A)96cm3 (B)96cm3 (C)48cm3 (D)32cm33.(2005年全国高考试题)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且ADE、BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为( ) (A) (B) (C) (D)4.(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)一个四棱柱的一个对角面面积为S,与该对角面相对的两侧棱间的距离为d,两对角面构成的二面角是600,则四棱柱的体积V=
7、_ .5.(2003年安徽春招试题)已知斜三棱柱侧棱的长为6cm,两个侧面面积分别为48cm2和24cm2,且这两侧面所成的角为600,那么,这个棱柱的体积为( ) (A)96cm3 (B)96cm3 (C)48cm3 (D)32cm36.(2012年全国高中数学联赛安徽预赛试题)如图,设正四棱锥P-ABCD的体积为1,E,F,G,H分别是线段AB,CD,PB,PC的中点,则多面体BEG-CFH的体积为 . 5.子题详解:1.解:由上底面边长=2上底面面积S上=6下底面面积S下=46=24V=28.故选(B).2.解:如图,设BB1=6cm,侧面ABB1A1的面积=48cm2,侧面BCC1B1
8、的面积=24cm2,把斜三棱柱视为底面为ABB1A1的拟棱柱,则S上=0,S下=48S中=24;过BB1上一点P作垂直于的平面,分别交AA1、CC1于M、N,则MPN=600;由6PN=24PN=4标棱柱的高h=PNsin600=2体积V=(0+424+48)=48cm3.故选(C).3.解:把多面体ABCDEF视为拟棱柱,则S上=0,S下=1,中截面是矩形S中=;取AD的中点M,作MHEF于H,则EM=,EH=高h=MH=多面体的体积V=(S1+4S0+S2)=(0+4+1)=.故选(A).4.解:如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,设AA1与CC1的距离为d,AA1与CC1到平面BDD1B1的距离分别为d1、d2,平面BDD1B1与平面ACC1A1构成的二面角是,则d1+d2=dsin四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V=三棱柱ABD-A1B1D1的体积+三棱柱BCD-B1C1D1的体积=Sd1+Sd2=S(d1+d2)=Sdsin.本题中,V=Sd.5.解:把斜三棱柱ABC-A1B1C1视为拟棱柱,则V=(0+424+48)=48.故选(C).6.解:由拟柱BEG-CFH的V=.
