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1、流体力学相关数学知识点补充和复习1. 场论概念 场: 物理学中把某个物理量在空间的一个区域内的分布称为场，如温度场、密度场、引力场、电场、磁场等。如果形成场的物理量只随空间位置变化，不随时间变化，这样的场称为定常场；如果不仅随空间位置变化，而且还随时间变化，这样的场称为非定常场。在实际中，一般的场都是非定常的场，但为了研究方便，可以把在一段时间内物理量变化很小的场近似地看作定常场。从各种场的取值性质来看可以分成两大类，一类是每个点对应一个数量，这种场统称为数量场，如温度场、密度场。另一类是每一个点对应着一个向量，这种场称为向量场，如引力场、梯度场、电场、磁场。场本身的性质与坐标选择无关，对各种
2、场的分析和计算应该选择适当的坐标系，以简化分析和计算。 对矢量场，则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为力线或流线。力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即, 称为力线的微分方程式。式中为力线切向的一段矢量。在直角坐标内，力线的微分方程式可写成， 2. 数量场(标量场)的方向导数和梯度1) 方向导数定义,2) 计算公式 方向: 3) 梯度定义梯度是一矢量场,4) 梯度的主要性质a. 梯度描述了场内任一点邻域内，函数的变化状况，它是标量场非均匀性的量度；b. 梯度是与标量场相关联的一个矢量场，即用标量场来描述矢量场；c. 梯度的方向与等势面的法线重合，且指向增大的方向，大小是
3、,方向导数；d. 梯度矢量在任一方向上的投影等于该方向上的方向导数，；e. 的方向,即等势面的法线方向,是变化最快的方向, 是下降最快的方向;f. 梯度矢量满足,反之,如,则;g. 若,则,反之,若,则;h. 梯度矢量的定义与坐标系的选择无关.5) 运算公式a. ;b. ;c. ;d. ;e. ;f. ;3. 矢量场的通量及散度a. 通量定义其中，,为与的 夹角,通量可能为正负或零,取决于法向的选择,通量是个标量。闭曲面上的通量正法向向外。若通量为正，内有正源；若为负，则有负源；若为零，不能确定，有可能有正负源相互抵消情况，或无源。b. 奥氏公式（高斯定理）设是由分片光滑的闭曲面所围成的有界闭
4、区域，场在区域上有连续的一阶偏导数，则其中，的法向量由的内部指向外部。中可以有若干空腔，的边界相应地也就由几部分组成。c. 散度定义：为通量的体积变化率，也即某点周围单位体积的通量推导如下：在右图所示的直角坐标系中，我们以所研究的点(x,y,z)为顶点作一个平行六面体，其三个边分别为， 和，分别计算三对表面穿出的 的通量。在直角坐标系中计算散度：从左，右一对表面穿出的净通量等于 从上，下一对表面穿出的净通量等于 从前，后一对表面穿出的净通量等于 故从六面体穿出的净通量等于令 ，则 引入哈密顿算符 所以 d. 散度的主要性质1） 散度描述了场内任一点邻域内函数的变化状况，它是矢量场散发或吸收通量
5、的量度；2） 散度是与矢量场相关联的一个标量场，即用标量场来描述矢量场；3） 散度的定义与坐标系的选择无关。e. 散度的运算公式1） ；2） ；3）f. 平面矢量场的通量和散度定义，已知，1） 通量定义：；2） 散度定义：；3） 散度的计算公式：；4. 环量及旋度a. 环量定义 其中,。b. 斯托克斯定理（公式）设是分段光滑的闭曲线，是张在上的任意一张分片光滑的曲面，场，在包含的区域上有连续的一阶偏导数，其中，当右手四指顺着的方向时，大拇指的指向就是的法线方向。c. 格林公式格林公式是斯托克斯公式的退化情况，即，。的方向为内边线顺时针，外边线逆时针。注意所讨论的区域存在个别奇点时，用一个容易积
6、分的简单闭曲线挖去奇点的处理方法。d. 环量面密度，即环量的面积变化率。e. 环量面密度的计算公式。f. 旋度定义1） 旋度是与矢量场相关的一个矢量场，即用矢量场来描述矢量场；2） 旋度描述了场内任一点邻域内，函数的变化情况，它是矢量场非均匀性的一种量度；3） 旋度矢量在任一方向上的投影等于该方向上的环量面密度，；4） 旋度矢量的模是最大环量面密度；5） 旋度矢量的定义与坐标系的选择无关。g. 旋度的运算公式1） ；2） ；3） ；4） ；5） ；6） 。h. 矢量场的雅可比矩阵主对角线三个偏导数之和为，其余六个可构成。5. 几种重要的矢量场a. 保守场矢量场，若，则称为保守场。b. 有势场若
7、存在数量场，使得，则称为有势场，为的势，有不同书中势的定义时常相差一个负号，须注意！c. 无旋场若在场内，则称为无旋场。设矢量场在场内有连续的偏导数，场所在的区域是线单连通的（即场内任一封闭曲线，可张成一个连续曲面在场内，设D是平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D，则称D为平面单连通区域。单连通域D具有这样的特征：属于D的任何一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而缩成一点，而多连通域就不具有这个特征），则以下四条等价：1）为保守场；2）；3）；4)为有势场，即，或是全微分。d. 管形场(无源)若在场内,则称为管形场。设在场内有连续的偏导数，若区域是面单连通域，则以下三个条件等价：1）称为管形场；2）；3）张在封闭曲线上的光滑曲面面积分只与有关，与的形状无关。e. 调和场若在场内与，则称为调和场。f. 调和函数则，又，有，即，叫调和函数，该方程称为拉普拉斯方程。g. 平面调和场设，1） 由，存在使得，则，。2） 由，若构造，使得，则为有势场，满足，则，。h. 共轭调和条件，是的共轭调和函数，是的共轭调和函数。i. 共轭调和函数，
