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1、ARMA1平稳性有一类描述时间序列的重要随机模型受到了人们的广泛关注，这就是所谓的平稳模型。这类模型假设随机过程在一个不变的均值附近保持平衡。其统计规律不会随着时间的推平稳和宽平稳。移发生变化。平稳的定义分为定义1（严平稳）#设x,t,T是一个随机过程t量，在不同的时刻x是在不同的时刻tt的随机变t是不同的随机变量，任取n个值t,t和任1n#意的实数汕则xx分布函数满足关系式1nF（x，x;t，t）F（x，x;t+h，t+h）n1n1nn1n1n则称,x,tt为严平稳过程。t在实际中，这几乎是不可能的。由此考虑到是否可以把条件放宽，仅仅要求其数字特征（数学期望和协方差）相等。定义2（宽平稳）若
2、随机变量,x,tT的均值（一阶矩）和协方差（二阶矩）t存在，且满足：(1) 任取tT，有E(x)二c；t(2) 任取tT，t+，T，有E(X(t)a)(X(t+,)a)=R(,)协方差是时间间隔的函数。则称x,tT为宽平稳过程,t其中R(,)为协方差函数。2各种随机时间序列的表现形式白噪声过程（whitenoise,如图1）。属于平稳过程。儿=u,uIID(0,0)tt3whitenoise210-1-2-3100120140160180200220240260280300图1白噪声序列（0=1）随机游走过程（randomwalk，如图11）。属于非平稳过程。yt=yt-1+ut,utiid(
3、o,10y=y(-1)+u5-5-1020020406080100120140160180图2随机游走序列（2=1）2DJPY1-1-2220240260280300320340360380400220020001800160014001200图3日元兑美元差分序列#50100150200250300#图4深圳股票综合指数10080604020750800400450500550600650图5随机趋势非平稳序列（=0.1）200-20-40-60-80100200300400500600700800图6随机趋势非平稳序列（=-0.1）10.0Ln(Income)9.59.08.58.07.5
4、7.05560657075808590图7对数的中国国民收入序列#1412108640050556065707580859095图8中国人口序列3延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻，记B为延迟算子，有x=Bpx,p1。tpt特别1-B)是差分算子。4ARMA(p,q)模型及其平稳性和可逆性4.1模型类型及其表示在平稳时间序列的分析中，应用最广泛的是有限参数模型。p阶自回归模型：用自己的过去和现在的随机干扰表X。tx，X+X+X+aa是白噪声。t1t12t2ptpttq阶移动平均模型：用现在和过去的随机干扰表x。tX，aa
5、aatt1t12t2qtqp阶自回归和q阶移动平均模型：自己的过去及过去和现在的随机干扰表X。tX一X一X一一X，a一a一a一一at1t12t2ptpt1t12t2qtq其中a是白噪声序列。t4.2平稳性X，X+X+X+a是平稳时间序列的反映t1t12t2ptpt吗？如果它是平稳时间序列的模型，回归系数应该满足何种条件呢？例设X是一阶自回归模型，即X，X+a或tt1t1t(B)X，a，其中(B)，1Btt11则X，；a(利用等比级数的通项和公式)t(1B)t=无jBja1tj，o=艺ja1tjj，o如果I1，X，艺4ja,a的系数随着j的增加而1t1tjtjj,o趋于无穷大，这显然违背了“远小
6、近大”的原则，由此可见，平稳的充分必要条件是II1，II1,X二-jXatit-jtX的系数随着j的增加而趋于无穷大，这显然违背了“远小t-j丿近大”的原则，由此可见，X=a，a的逆转形式存在的tt1t1充分必要条件为I11，I11的充分必要条件方程111-z=0的根在单位圆外。1X=a一a一aa=0(B)a可逆的充分必tt1t，12t，2qt_qt要条件为，方程0(z)=1，z，z2zq=0的根在单位12q圆外。q，0q，&q，20=0的根在单位圆内2。12q由于自回归模型X=X+X+X+X+a稍微变形，t1t，12t_23t，3ptpt就是用系统的现在和过去值表示随机干扰项，所以自回归模型
7、自然可逆。4.4ARMA(p,q)的平稳性和可逆性设时间序列X是ARMA(p,q)模型t2证明参看附录2。x-x-Xxt1t12t2ptpa,a,a,at1t12t2qtq令(B)1BB2Bp12p0(B)1,B,B2，Bq12q则模型记为(B)X0(B)att女口果1.主0,，主0；pq2. (B)和0(B)无公共因子；3. (z)0和0(z)0的根在单位圆外。则x是自回归移动平均模型，平稳且可逆。它有传递形式tX巴a，由此可以认为，任何一个自回归滑动平均模型t(B)t都可以用一个足够高阶的滑动平均模型逼近。逆转形式a二怛X，可见任何一个自回归滑动平均模型都可以用一t0(B)t个足够高阶的自
8、回归模型逼近。5平稳时间序列的统计特征5.1总体的自相关函数和样本的自相关函数(看参考教材王燕，应用时间序列分析，中国人大出版社，2005)一、AR(p)模型的自相关函数AR(p)模型，自相关函数快速收敛于零，但不等于零，“拖尾”。又因为ARMA(p,q)模型(B)x，&(B)的可逆性,tt即，()x，所以任何一个ARMA(p,q)模型都可以表示为一个足够高阶的AR(p)模型，所以ARMA(p,q)模型与AR(p)模型有相同的统计特性。下面从可以从图18到图25观察时间序列图与其自相关函数图的特点。210-1-2-320406080100120140160180200E图9白噪声序列的自相关函
9、数#Date:03/15/04Time:23:23Sample:1200Includedobservations:200AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProbJiHiiE|匸Ji|ili图10:itiEi|匚|Ji!11121314150.111-0.090-0.110-0.0310.079-0.017-0.0600.0150.089-0.022-0.0130.035-0.0120.0050.0050.111-0.103-0.090-0.0180.068-0.049-0.0470.0370.076-0.0570.0150.057-0.0
10、33-0.0020.025白噪声序列的自相关函数图|iL|li18192021222324-0.059-0.083-0.0520.027-0.0400.1740.013-0.053-0.093-0.0800.016-0.0640.175-0.0332.50924.15416.65616.85858.13878.19688.95989.008310.69410.79510.83311.09611.12811.13311.13812.68714.18814.97316.52117.12217.29217.66424.53924.5790.1130.1250.0840.1440.1490.2240.2560.3420.2970.3740.4570.5210.6000.6760.7430.6950.6540.6640.6220.6450.6930.7260.3740.4292620-2-420406080100120140160180200Z图11人工模拟序列X=0.65X+0.3图6X+att-1t-2#Xi=0.615X.19+he1-0.177-0.122-0.042-0.0020.071nnriF；10.6500.65084.8270.00020.326-0.165106.350.00030.1470.013110.730.0004
