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1、第 1 页（共 17 页）2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x |x22x0，B=x |x，则( )A AB= B AB=R C B=A D A=B2 （5 分）若复数 z 满足（34i）z= |4+3i|，则 z 的虚部为( )A . 4 B C 4 D . 3 （5 分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的
2、抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A 简单的随机抽样 B 按性别分层抽样C 按学段分层抽样 D 系统抽样4 （5 分 ） 已知双 曲线 C： （ a0 ，b0） 的离心率为，则 C 的渐近线方程为( )A y= B y= C y=x D y=5 （5 分）执行程序框图，如果输入的tE1 ，3，则输出的 s 属于( )A 3 ，4 B 5 ，2 C 4 ，3 D 2 ，56 （5 分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器 口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为( )A B C D . 7 （5 分）设等差
3、数列an的前 n 项和为 Sn ，若 Sm1=2 ，Sm=0 ，Sm+1=3，则 m= ( )A 3 B 4 C 5 D 68 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )第 2 页（共 17 页）A 16+8 B 8+8 C 16+16 D 8+169 （5 分）设 m 为正整数，（x+y）2m 展开式的二项式系数的最大值为 a ，（x+y）2m+1 展开式的二项式系数的最大值为 b，若 13a=7b，则 m= ( )A 5 B 6 C 7 D 810 （5 分）已知椭圆 E：的右焦点为 F（3 ，0），过点 F 的直线交椭圆 E 于A、B 两点若 AB 的中点坐标为（1 ，
4、1），则 E 的方程为( )A B . C D . 11 （5 分）已知函数 f（x ）=，若|f（x ） |ax ，则 a 的取值范围是( )A . (, 0 B . (, 1 C 2 ，1 D 2 ，012 （5 分）设An BnCn 的三边长分别为 an ，bn ，cn ，An BnCn 的面积为 Sn ，n=1 ，2 ，3若 b1c1 ，b1+c1=2a1 ，an+1=an ， ，则( )A Sn为递减数列B Sn为递增数列C S2n1为递增数列， S2n为递减数列D S2n1为递减数列， S2n为递增数列二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13 （5 分）已知两个单位向量
5、 ，的夹角为 60 , =t+（1t） 若 =0，则 t= .14 （5 分）若数列an的前 n 项和为 Sn=an+，则数列an的通项公式是 an= .15 （5 分）设当 x= 时，函数 f（x ）=sinx2cosx 取得最大值，则 cos= .16 （5 分）若函数 f（x ）=（1x2 ）（x2+ax+b）的图象关于直线 x=2 对称，则 f（x ）的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）如图，在ABC 中，ABC=90 , AB= ，BC=1 ，P 为ABC 内一点，BPC=90 . （1）若 PB=，求 PA；（2）若APB=150,求
6、 tan PBA .第 3 页（共 17 页）18 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1 B1C1 中， CA=CB ，AB=AA1 ，BAA1=60 .()证明 ABA1C；()若平面 ABC平面 AA1 B1 B ，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.19 （12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n 如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品
7、都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立.()求这批产品通过检验的概率；() 已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X（单位：元），求 X 的分布列及数学期望.20 （12 分） 已知圆 M：（x+1）2+y2=1，圆 N：（x1）2+y2=9，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C .()求 C 的方程；() l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A ，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.21 （
8、12 分）已知函数 f（x ）=x2+ax+b ，g（x ）=ex（ cx+d），若曲线 y=f（x ）和曲线 y=g（x ）都过点 P（0 ，2），且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2 .()求 a ，b ，c ，d 的值；()若 x 2 时， f（x ）kg（x ），求 k 的取值范围.四、请考生在第 22 、23 、24 题中任选一道作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22 （10 分）（选修 41：几何证明选讲）如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上
9、， ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E ，DB 垂直BE 交圆于 D .()证明： DB=DC；()设圆的半径为 1 ，BC=，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径.第 4 页（共 17 页）23 已知曲线 C1 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 =2sin .（1）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（2）求 C1 与 C2 交点的极坐标(0 ，02) .24 已知函数 f（x ）= |2x1|+|2x+a |，g（x ）=x+3 .()当 a=2 时，求不等式 f（x ）g（x ）的解集；()设
10、 a1，且当 x , 时， f（x ）g（x ），求 a 的取值范围.第 5 页（共 17 页）2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x |x22x0，B=x |x，则( )A AB= B AB=R C B=A D A=B【考点】1D：并集及其运算； 73：一元二次不等式及其应用.【专题】59：不等式的解法及应用； 5J：集合.【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合 A，再根据的定义求出 AB 和 AB .【解答】解：集合 A=x
11、|x22x0= x |x2 或 x0，AB=x |2x或x0，AB=R，故选： B .【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题.2 （5 分）若复数 z 满足（34i）z= |4+3i|，则 z 的虚部为( )A . 4 B C 4 D . 【考点】A5：复数的运算.【专题】5N：数系的扩充和复数.【分析】由题意可得 z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为 +i，由此可得 z 的虚部.【解答】解：复数 z 满足（34i）z= |4+3i|， z=+i， 故 z 的虚部等于，故选： D .【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于
12、基础题.3 （5 分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A 简单的随机抽样 B 按性别分层抽样C 按学段分层抽样 D 系统抽样【考点】B3：分层抽样方法.【专题】21：阅读型.【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样.【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理.故选： C .【点评】
