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1、向量的概念与运算本周教学内容：1. 向量的概念；2. 向量的运算（加法、减法、数乘）.学习要求：1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念;2. 掌握向量的加法与减法；3. 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件；4. 了解平面向量的基本定理.教学重难点：1. 向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示；2. 对向量的加法和减法的定义的理解；3. 实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件知识要点：一、向量的概念1. 向量的基本概念： 向量：既有大小、又有方向的量 向量的二要素：大小、方向.与起点无关的向量有些向量与起点有关，如位移、力等，有些向量与起点无关，如
2、速度等 叫做自由向量，数学中所谈及向量如无特别说明，均指自由向量.2. 向量的表示：（1）几何表示法：用有向线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量 的方向；（2）字母表示法：用有向线段的起点和终点，起点在前，终点在后，或者用英文小写字 沖于十母，并在字母上加箭头表示，如d ：人1 -等.注意：手写体均需要加箭头.打印字体中向量一般用黑体来表示.3. 向量的相关概念：模：向量的大小称为模abJ的模分别记为相等，则记为.-?，规定:零向量：模为零的向量叫做零向量，规定：零向量的方向是任意的 单位向量：模为一个单位长度的向量叫做单位向量相等向量：大小相等且方向相同的向量叫做相等向量，若零向量和
3、零向量相等，即- I .A的相反向量记为-!.规定：零向量相反向量：大小相等且方向相反的向量叫做相反向量, 的相反向量是零向量，即-.平行，则记为平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若由于数学中所研究向量与起点无关，于是可以将平行向量平移到同一条直线上，于是平 行向量又叫做共线向量.规定：零向量和任意向量平行注：（1）向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小；平行向量的定义中非零”限制；相等向量、相反向量、平行向量（共线向量）的定义都有 规定”（4）向量中的平行与平面几何中的平行含义不完全相同，尤其要注意到不同:AB/CD时,A、B、C、D四点是可以共线的，但 AB I
4、I CD成立时，A、B、C、D四点是不可以共线的、向量的加法与减法加法定义：Tp.=（三角形法则）注：需要明确一个向量的起点是另一个向量的终点减法定义：- a+（-b）说明：1.加法、减法的结果依然是一个向量；2.若乳祈共践，则a+bfa-Hfi方向与焉弥同问也+E刚+|E若- 儿匚一 - - 口 .! -若乳皈觥若申悅则a + fea同向，且|a+bHa|-|b|;若同硕 则枝+狷洞咼fi|a+b|=|b|-|a|3. 运算律+ 芾加法交换律：-：（由此可得岀平行四边形法则 ）结合律：注：平行四边形法则作图求和时，两个向量的起点应该相同；P片申常用结论 _ 一 特征是首尾相连.4十减法：-三
5、、实数与向量的乘积（数乘）1. 定义I :从模、方向两个方面理解。模：（2）方向：当 九丸吋.需与菊向；当九4时;与赢向；当日吋，需 需要明确的记住：实数与向量的乘法结果是一个向量。2. 运算律九（曲）二A（a + b）二加 + Xb;（丸+y）a = la + |ia.3. 向量共线的充要条件若非零決线O存在惟一的一个实数入使得二加注：非零条件不可去掉；因为如果.，则存在无数个实数满足条件；若f I,则不存在实数满足条件；(2)书中的解释没有明确说明实数】的惟一性。4. 平面向量基本定理设是平面内不共线的两个向量，那么对于该平面内的任意一个向量-有且只有一对实与-一厂二|曹 的向量有24 个
6、,不共线的向量一 一叫做表示这一平面向量的一组基底说明：， 切匕二奉f -m(2)表示一个平面的基底有无数组(3)在给定的基底的前提下，平面的向量与实数对例题：例1.判断真假 单位向量都相等； 向量的模都是正实数； 共线向量一定在同一条直线上;若止一-_二二匚_f二；若ABCD是平行四边形，则解析：错，向量相等应该是大小和方向都相等；单位向量只是规定了大小为1,方向可以不同； 错，向量的模是指向量的大小，零向量的模为0，不是正实数； 错，共线向量是指可以平移到同一条直线上的向量，如平行四边形ABCD中，AB = DC 但屁 DC 不在同一条直线上；错，如图,AB = m 成立，但AB II C
7、D不成立;对；错，丄的方向不相同.例2.如图是4X3的矩形（每个方格都是单位正方形），在起点与终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：与-二二相等的向量有几个（不含一-!： ） ?与 忑平行且模幷忑 的向量有几个？与廊向且模梆 有几个?解析：与-相等的向量有5个,与！卜同向且模为 拓有2个或例 3.化简FT 1|解：法一- 上:-1 讣 1=(ac-abh(db-dc)=bc+cb=6.法二(AC+DB)-(AB+DQ = (AO+OC+DO+OB)-(AO+OB + DO+OC) = 6.注意：向量的加、减、数乘运算的最后结果都是向量，因此不可写作0.例4.如图，已知 ABC三边中点为 D、E
8、、F,求证： AD + BE+CF = O证明：因为D、E、F为中点，所以:一 - I -一 _ 一一丨 -二(AB+BC + CA)+(BD+CE+AF)十Ij1*二 O+JBC+CA+AB) = O发展：G ABC重心 GA+GB+GC = O.+斗例5.如图，在 AOB中，丄一 :._, BE: EA=1 : 2, F是OA中点，线段 0E与BF交于点G,试用基底表示：(1) it； (2) _;(3)】J .一.1.1.一.9-1一.1+ 2 -解 (!) - - h Hk -I-2. C 提示： 1L 一 - -1 - - k 1 3. A提示：显然kO,所以1 k4. D 提示：A
9、 , B , C 共线则匕一1 一 -_ I 一- ： -_所以-一 I -匚，贝0 m=1-k , n=k.5. 丄i-r.- : r . -W -.十-6. 二 二8. 1提示：2x-y=5 , 4=x-2y，得x=2 , y=-1.向量的概念与运算本周教学内容：1. 向量的概念；2. 向量的运算（加法、减法、数乘）.学习要求：1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念;2. 掌握向量的加法与减法；3. 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件；4. 了解平面向量的基本定理 .教学重难点：1. 向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示；2. 对向量的加法和减法的定
10、义的理解；3. 实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件知识要点：一、向量的概念1. 向量的基本概念：向量：既有大小、又有方向的量向量的二要素：大小、方向.有些向量与起点有关，如位移、力等，有些向量与起点无关，如速度等.与起点无关的向量叫做自由向量，数学中所谈及向量如无特别说明，均指自由向量2. 向量的表示：（1）几何表示法：用有向线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量 的方向；（2）字母表示法：用有向线段的起点和终点，起点在前，终点在后，或者用英文小写字母，并在字母上加箭头表示，如二卜 等.注意：手写体均需要加箭头.打印字体中向量一般用黑体来表示.的模分别记为3. 向量的相关概
11、念：模：向量的大小称为模一、相等，则记为-，规定:零向量：模为零的向量叫做零向量，规定：零向量的方向是任意的 单位向量：模为一个单位长度的向量叫做单位向量相等向量：大小相等且方向相同的向量叫做相等向量，若丁 +零向量和零向量相等，即一 I.相反向量：大小相等且方向相反的向量叫做相反向量, I的相反向量记为 -!.规定：零向量的相反向量是零向量，即-口 0平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若J平行，则记为一:.由于数学中所研究向量与起点无关，于是可以将平行向量平移到同一条直线上，于是平行向量又叫做共线向量.规定：零向量和任意向量平行注：(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小；(2) 平行向量的定义中非零”限制；(3) 相等向量、相反向量、平行向量(共线向量)的定义都有 规定”(4) 向量中的平行与平面几何中的平行含义不完全相同，尤其要注意到不同：九三CZ1时,A、B、C、D四点是可以共线的，但 AB II CD成立时，A、B、C、D四点是不可以共线的。二、向量的加法与减法加法定义：丁八|-乔订三角形法则)注：需要明确一个向量的起点是另一个向量的终点减法定义：- -b-a+(-b)说明：1.
