调和级数发散性的证明方法姓名：范璐婵摘要：本文给出了调和级数发散性的18种证明方法其中前13种散见于各种资料，笔者 进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或 方法导出的关键词：调和级数 发散性 部分和 收敛Proofs of the divergency of harmonic seriesName: Fan LuchanDirector: Wang YingqianAbstract: Eighteen methods to prove the divergency of harmonic series are presented in this paper.Some are known and some are new.Key words: harmonic series; divergency; partial sum; convergency引言调和级数£ -的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆(1323——1382)在 nn 二1极限概念被完全理解之前的400年证明的他的方法很简单：11111111 + + + + + + + + …2 3 4 5 6 7 8-+-+(-+1)+(-+-+-+1)+…2 2 4 4 8 8 8 8注意后一个级数每一项对应的分数都不大于调和级数中相对应的项，而且后面1 1级数的括号中的数值和都为 _ 1 1 n(n +1) n n +1，这样的1有无穷多个，所以后一个级数是趋向无2 2穷大的，进而调和级数也是发散的。
后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明他的证明是以莱布尼茨的收 敛级数2+6+12+…+n(n+i)+…=1为基础的以下是他的证明所以则接着设则小 1111G — +++…• + + •…304256n(n +1)F2015；11111 1 1s — 1 — + — + — +.…+ — — 1 —n 2 2 3 3 4 n n +1 n +1s — lims — lin—詁 —.) 1ns n ns n + 1人1 1 1A — — + — +.…+ — +.…,2 3 nA -1 +丄+丄—4+…+亠+…;2 6 1 2 2 0 n n +( 1)C显+1 +丄+丄+…+ +…=1；2 6 12 20 n( n +1)n_1 1 1 1 _厂 1_16 12 20 n(n +1) 2 2厂 1 1 1 1 小1 1E = + + +.…+ +.…=D ——= ；12 20 30 n(n +1) 6 3'厂 1 1 1 1 厂 1 1F = — + — + — +.…+ +.…=E ——=—；20 30 42 n(n +1) 12 4'小 小 12345 —1 1C + D + E + F + G+ 亠+ -+ -+ —-+…1-———+ . ■+261 220302 3+即 A — A +1.没有一个有限数会大于等于自己，即A是无穷大，所以调和级数发散.由上可知，伯努利是以一种“整体论”的态度来对待无穷级数的，他证明调和 级数发散的方法与现代方法形成了鲜明的对比。
伯努利作出这一论证之后的150 年，才有真正的级数理论出现他用简明的A — A +1来证明级数的无穷性，这是 证明量的无穷性的一个最独特的方法而今，随着级数理论的不断完善，我们可以应用更多更精彩的方法证明调和级 数的发散性例如：利用欧拉常数，级数与广义积分敛散性的关系，级数及数列 敛散性的定义和性质，级数敛散性的各种判别法，均值不等式等在级数敛散性 的讨论中，调和级数的应用很广泛了解这些证明方法，对级数敛散性的学习和 研究是有益的，特别在其证明方面能起到举一反三，融会贯通的作用本文给出了调和级数发散性的18种证明方法其中前13种散见于各种资料， 笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔 者用有关定理或方法导出的1证法一：利用反证法.假设调和级数另丄收敛，记其和为S,即S=另n nn=1 n=1由于正项级数若收敛，加括号后仍收敛，且和不变，可知:1 1 1 1 1S= =1+ — + — +.…+ + +.…n 2 3 2n 一 1 2nn=11 11 1 1=(1+—)+ (一 + )••• + ( + ) + …2 3 4 2n -1 2n1 11 1 1\ ( 1+_) + (_ + )…+ ( + ) +—2 4 4 2n 2n1 1 1=_ + (1+ + ••• + — + …)2 2 n=1 + S21S > + S2从而10 = 2矛盾’所以调和级数必发散.2证法二：证明调和级数另1的部分和可任意大.nn=1依次将另-九项，九十项，九百项，…括在一起得nn=1I 1 1 11 + + …+ +…2 3 n1 1、/ 1 1 11 1 1、=(1+ — + ... + —) + ( + + .…+ ) + ( + + .…+ ) + .…2 9 10 11 99 100 101 999/1 1 1、/ 1 1 1、/ 1 1 1、90010 10 10 100 100 100 1000 1000 1000 V ’ y9 909 90 900= + + +.…10 100 10009 9 9= + + +.…10 10 10从上式中可以看出艺1的和可任意大，故级数艺1发散.n nn=1 n=13证法三：利用柯西收敛准则证明部分和数列｛$ ｝发散.n事实上，存在s =-，对任意自然数N，总能找到两个自然数m >N, n = 2m , o 2 o oo当然也有2m >N，使得1 1+…・+ 2moo. .1I s 一 s 1= +2 mo mo m +1 m + 2o o1 1> + + …+2m 2m 2mo o o据柯西收敛准则的否定叙述，｛s ｝发散，从而工-发散.n nn=14证法四：证明部分和数列｛s ｝的子列｛s ｝发散.n 2 ms2m=1+-+(1+1)+(1+-+1+1)+…+(丄+2 3 4 5 6 7 8 2m-1 +11+ •…2 m-1 + 212m + 1于是-4X OO-IX2）r m=1 +2li :m - lim+ 与="m T8 m T8故数列｛s ｝发散,n从而调和级数为-发散.nn=15证法五：利用欧拉常数证明.证明数列｛a ｝存在极限C （欧拉常数），这里n1 1 1a 二 1 + +— Inn ,n 2 3 n1 1 1即 1 + + + + -lnn =C+ &，其中s T0 (当nTg 时)2 3 n n n1 1 ln(l+—) <—，n n因为所以1l n n + —) nL n ，n从而有ln 2- Iik 1，11ln3 - ln2 < ，21ln(n +1) 一 ln n < ，n上述n个不等式两边相加得于是an+1即｛a ｝有下界•其次应用不等式1 1 1ln(n +1) < 1 + + + •••+ ，2 3 n1 1 1 1=1 + + + ••• + + — l nn(+2 3 n n + 11 1 0.n n +1故｛a ｝有是n个单调下降的数列,也就是因此lima存在，用C表示，即nn—g1 1+ …+ 一 ln n) = C.3 n1 1 11 + 1 +.…+— = ln + C + 821 lim(1 + +n—g 21显然l i msin s=l i m +C + smg(ltm= . 0)nn T8=+g •g 1故调和级数它—发散.nn=16证法六：应用级数艺a(其中a > a >••• > a > ••亠0)与级数艺1 2 nn=12na2nn=1有相同的收敛性.a = — (n = 1,2-； n n)，1 > - > 1 >••• > - > 0.2 3 n而级数艺2na2n=1=艺2丄=艺2nn = 1=+g发散.n = 1故调和级数£ -发散.nn=17证法七：利用广义积分法.对于部分和数列{s }:I 1 1 1s — 1 + + +.…+ ，n 2 3 n1+-+-+…+_1J+1」X ,Jn+11d1 x2 3 n 1 xx-1 n (n 1) lim ln(n +1) = +a，n s因此宋1故调和级数€ —发散.nn-18证法八：证明由调和级数中分母末位含有0的项组成的子级数发散.调和级数中分母末位含有0的项组成的子级数是爭 1 1 1 1 1 1乙u — + +…・+ + +…・+ + +…・n 10 20 100 110 1000 1010n-11 1 1+ + +…・+ +…・10000 10010 10000010 1在此级数中，分母从10到100的项共有10项，其和大于丄一-—；100 1090 9分母从110到1000的项共有90项，其和大于 - ；1000 100900 9分母从1010到10000的项共有900项，其和大于 一=—；10000 100分母从10n+10到10n+1的项共有9皿1项，其和大于 常-盖从而y 、1 9 9 9u n + + ….-+ ・・+.n 10 100 100 100n-1显然 艺u发散，于是调和级数y 1发散.n nn-1 n-19证法九：利用命题“设正项级数y a收敛 ，且 a < a ， lim a - 0，n n+1 n nn-1则有 lim na - 0 ”nnTs以下是这个命题的证明:因正项级数兰a收敛，则对于任意给定的£ > 0，总存在自然数N ,nn—1当n >N时，下式成立+ a I— a + a + …+ a + a < .2 n-1 2 n n+1 n+2 2 n-1 2 n 2由已知a < a (n — 1, 2 ,--3 ,，) n+1 na >n+1a >•• >a >a (n —1,2,3,…)， n+2 2 n- 1 2na < ， 2na <& ，2 n 2 2n故有lim na — .02 nn ts故有C I 1(。