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1、数 列 和 不 等 式 数列是一种特殊的函数，在众多的高考试题中数列试题题型新颖,综合性强，特别是数列与不等式的结合是近几年高考试题的热点，而涉及数列和不等式的问题往往需要综合运用函数、数列性质和不等式证明等诸多方法,从而考察学生的数学意识、数学思维。下面谈谈常涉及到的几种特殊解决方法。一、函数的性质A. 函数的值域例1已知公差大于零的等差数列的前n项和是，且满足：=117，求（1）通项；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数C。（3）若的前n项和为，求证解：（1）略 （2）略 (3), 上面两式等号不可能同时取到，原命题得证。B. 函数的单调性a. 构造函数应用定义法例2。已知数列的前n项和
2、为 ，它满足（1） 试求出之间的递推关系。（2） 设当时，求证（3） 若设当时，求证解:（1）（略解）利用-=可得数列是一等差数列。 （2），（）数列是单调递增数列。 令得n-1个不等式相减得： += =.(3)由(2)知= 设,当时,设,则有- , ,在上单调递增.0恒成立, （）（）0对一切正自然数恒成立,即恒成立. 恒成立, 故所求的的范围是(2)证明:由(1)知（）+2,下面分情况讨论.a.若时. 数列是严格单调递增数列,当时, ,这与矛盾. 不成立.b.当时, （）（）=（）0. 即数列是单调递减数列,当时, ,但,（）+2,这与矛盾, 也不成立.c.当时, ,满足对一切恒成立, 即
3、数列是常数列.评注：递推数列与数列的有界性、单调性是高等数学内容和初等数学相衔接的部分，也备受命题人员的青睐，因此要注意培养学生运用所学知识观察问题、分析问题、解决问题的能力。二不等式的证明方法A基本不等式例4已知，为两两各不相等的正整数.求证对任何正整数n下列不等式成立,(第20届IMO试题)证明: 因为，为两两各不相等的正整数,所以显然有 2 。 2以上各不等式两边分别相加并整理: ()（）=B.放缩法例5已知数列满足，是的前n项和，且求（1）的通项 （2）证明：（2004浙江宁波高三测试题）解：（1），两式相减得 ， 。 连乘后可得： ，=1，又 （2）（二项式定理） （放缩法1）（放缩
4、法2）= 又 4 结论成立时 当且仅当时取等号. (2) 由(1)知成立,故命题等证.三、数列的性质A应用数列性质（例6）（2）解： （逆用等比数列求和公式）， 由均值不等式，上式成立B.极限思想例8设（1）证明：介于之间。 （2）中哪一个更接近于 （3）根据以上事实，设计一种求的近似值的方案，并说明理由。解：（1）=则介于之间 （2） = = 比更接近于。（3）依次令， 则 ，即 故依次更接近于，且当时，无限趋近于，即。评注：此题是根据教材数列章节中第一节的例3改编而来的，让学生接触“数列逼近”这个新颖题材，对培养学生的创造能力很有帮助，这种极限的思想在其他的章节中也有广泛的运用，例如球的体积和球的表面积的推导等。当然对于数列中不等式的证明也可使用数列中的数学归纳法来证明，这里就不说明了。四、二项式定理例5（2）（二项式定理）评注：一般地，当指数不等式（指数为正整数）那么一般情况都可以利用二项式定理来证明。 当然对于数列和不等式还可以采用数形结合、绝对值性质等等，这里就不一一赘述。
