《整理高斯噪声背景下谐波恢复数学模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《整理高斯噪声背景下谐波恢复数学模型（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章高斯噪声背景下谐波恢复数学模型2.1高斯过程高斯过程又称正态随机过程，它是一种普遍存在和重要的随机过程.所谓高斯过程(t),即指它的任意n维概率密度函数由下式表示的过程，即f(Xi,X2,xn;ti,t1n/2(2二)二1二2二nB一1nnexpZ|BZBdjk1/2式中ak=E：(tk)k：=El(tk)-ak2；同-归一化协方差矩阵的行列式，即13bmDb211b2nB=-+bn1621Bjk-行列式|B|中元素bjk的代数余因子bjk-归一化协方差函数：bjkE(tj)-aj(tk)-akjk由上式可以看出，正态随机过程的n维分布仅由各随机变量的数学期望，方差和协方差决定.一维高斯
2、正态分布的概率密度函数可写为：f(x)=12eXP.式中，a及仃是两个常量(均值和方差).高斯噪声一般分为白噪声和有色噪声。功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，被称之为白噪声，即n0P(1)=白噪声的自相关函数为R()=工()2显见，白噪声的自相关函数仅在T=0时才不为零；这说明，白噪声只有在零点才相关,而它在任意两个时刻上的随机变量都是不相关的。有色噪声与白噪声不同，它的功率谱在整个频段上不是均匀分布的。2.2谐波恢复的数学模型高斯噪声背景下的谐波恢复，主要是利用特征子空间分析的方法，对观测值进行处理从而估计出原始信号的频率等参量特征，即完成了在噪声背景下对信号的恢复。我们首先对特征子
3、空间进行分析。从几何意义上说协方差几何空间=信号子空间+噪声子空间我们所要做的就是从大的空间抽取低秩子空间，对信号进行分解处理。下面将要介绍的Pisarenko,MUSIC,Prony,ESPRIT等方法其核心思想都是由此而来的。设观测信号模型：y(n)=x(n)+w(n)p/、.j(wn-：)x(n)=Zaiej(叩i4其中，叫为信号幅度Wi为谐波信号频率*为相位在匚冗,冗】均匀分布的参量p为谐波个数w(n)为零均值方差为。2的高斯白噪声构造m父m协方差矩阵一Ry(0)Ry(-1)Ry(-M+1)1Ry(1)Ry(0)Ry(-M+2)aa+a_Ry(M-1)Ry(M)Ry(0)_设R=S+W
4、:S表示信号协方差矩阵，W表示噪声协方差矩阵。p2S=Z口iGSii1其中：一11exp(jg)S=：exp(j(M-1i)二22一2.仃WI=.-02CT卜面我们对协方差矩阵R进行分析:R=S+WpS=i4i首先我们来说明R为什么等于S+W.y(n)的自相关函数ry(m)=Ey(n)y(nm)1二iexp(-jn-i)f(n)iexp(jl(nm)，二l)-w(nLli=1：*exp(-jin-i)I.:lexp(jl(nm)，二1)J-EW*.Hjm-Il(n)w(nm)p=Ecti1p=i1p=Zai=1pZ%expjn(叫一叫)+j%mEexp(l-%)+b26(m)11p,expjn
5、(l-)jm、(l-i)二2、(m)11224-exp(j叫m)+。e(m)p=i1i2HSiSi-2|p=i1exp(j-i)exp(ji)exp(j(M-1)121exp(j(M-1网)_aiexp(j-i)exp(j2i)exp(-j-i)1exp(ji)exp(-j(M-1)i)exp(-jMi)1exp(-j(M1)i)对应矩exp(j(M-1)%)k2exp(j(M-2)i)012CT阵各项可知现在对矩阵-0R=S+W.R进行分析:2cr设九i,Vi分别是矩阵S的特征值和特征向量，则SViVii=1M讨论：因为值(2)W=02Mp，信号阵的秩必为p。所以(i=p+1M)。S阵有p个
6、非零特征值(i=1p),M-p个零特征M由于I=LViViH所以W=仃i1M2-IViVii1pRJiViVHi=1p=、(二2i1Mx/2H、ViViiWMI、Hx_2H)ViVi_ViViiz=p1讨论：(1)R阵与S阵具有相同的特征向量vi,且ViVj(2)(4,Vi)i=1p是信号特征对(A,Vi)3i=p+1M是噪声特征对分别记:Vsv1,vp由信号向量张成的子空间叫做信号子空间，而有噪声向量张成的子空间叫做噪声子空间。(3)矩阵R的特征值2i二i2cr由以上结论我们可以看出，信号向量和噪声子空间中的所有向量(包括它们的线性组合)是正交的。即M二kVk)=0k-p1由于此结论十分重要
7、我们在此进行证明。2HSiSipp丁S=EAvn：=2ai1i1pSvp1=、,ivivivp1i1=Si,S2,Sp巴Si11exp(j叫)exp(jpi)S=EBEhSi,SpS1H1|S；H,Sp2HSiSiSVpi=EBEHVp1=0vHiEBEHVp1=0(EHVp)HB(EHVpJ=0B是正定的EHVp1=0展开上式即有证毕；利用信号向量和噪声空间的正交性进行信号恢复的方法称之为噪声子空间方法。第三章算法概述与分析定义观测信号的空间协方差矩阵为(3.1)(3.2)R=Ey(n)yH(n)设噪声方差为CT2,由假设得R=EAs(n)+w(n)As(n)+w(n)HH=EAs(n)+w
8、(n)As(n)H+wH(n)=EAs(n)+w(n)s(n)A+Hw=EAs(n)s(n)A+w(n)s(n)As(n)wHH(n)+w(n)w(n)HH=EAs(n)sH(n)A+Ew(n)(n)A+EAs(n)w(n)+Ew(n)w(n)=ASAH+021M其中，S=Es(n)sH(n),Im为单位阵。注意到(3.1)式表达的是观测信号的“统计平均”。我们认为通信中的随机过程是平稳随机过程，而平稳随机过程具有各态历经性，所以在这里，我们可以用观测信号的“时间平均”来代替“统计平均”，即R=Ey(n)yH(n)y1(n)y(n)y2(n)y(n)y1(n)y2(n)y2(n)y2(n)y1
9、(n)yM(n)1y2(n)Vm(n)M(n)y1(n)Vm(n)y2(n)Vm(n)yM(n)-Eyi(n)yi(n)_Ey2(n)yi(n)二9目丫乂(n)yi(n)_Rii(0)Ri2(0)_R2i(0)R22(0)=99-Rmi(0)Rm2(0)R中各元素的估计为：Eyi(n)y2(n)Ey2(n)y2(n)EyM(n)y2(n)Rim(0)R2M(0)9Rmm(0)Eyi(n)yM(n)Ey2(n)yM(n)aEyM(n)yM(n)_iNHRj(0)yi(n)yj(n)NnJ故可得R的估计为(3.3)二iJHRy(n)y(n)Nn43.1Pisarenko谐波分解法在Pisarenk
10、o谐波分解法中，考虑的是由p个实正弦组成的确定性过程px(n)Asin(2二finF)(3.1.1)i1我们假定，初始相位Qi是在(n,n)均匀分布的独立随机变量，它在一次实现中为常量。先来推导过程x(n)满足的差分方程。为此，先来考虑单个正弦波的情况，即x(n)=sin(2二fn).将三角恒等式sin(2二fn1)sin2二f(n-2)刁=2cos(2二f)sin2二f(n-1)打中的正弦函数换乘x(n)后，得到二阶差分方程式x(n)2cos(2f)x(n1)+x(n2)=0上式两边去z变换，得一一一1-2一1-2cos(2二f)zzX(z)=0这样，我们就得到特征多项式I -2cos(2二
11、f)z4z，=0它有一对共轲负根即z=cos(2nf)jsin(2nf)=e327f共轲根的模为1,即|z1|=|z2|=1,由它们可决定正弦频率f=arctanIm(z)/Re(z)/2n通常我们取正的频率。显然，如果p个实正弦波没有重复频率的话，则着p个频率也应由特征多项式P2p/*2PxII (Z-Zi)(z-Zi)akz=0i4kR2p或、akz2pJk=0(3.1.2)k卫的根决定。易知，|乙|=1,且系数ak是对称的，即ak=a2P上(0三k(3.1.7)w=w(n),w(n-1)，w(n-2p)T于是式(3.1.6)可以写成一下矩阵形式：TTya=wa(3.1.8)用向量y左乘式(3.1.8)两边，并取数学期望得到EyyTa=EywTa(3.1.9)若Ry(l)=Ey(n)y(n+l),则显知，Ry(0)Ry(-1)TRy(1)Ry(0)Eyy=：；_Ry(2p)Ry(2p-1)Ry(-2p)Ry(2p+1)：=RyRy(0)LrT,L,/、T,LrT,_2,Eyw=E(xw)w=Eww二二wI将上述关系代入式(3.1.9)，得特征方程2Rya-；wa(3.1.10)式
