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1、(word完满版)圆锥曲线(求轨迹方程)汇总,文档专题圆锥曲线求轨迹方程求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y 之间的关系或F(x， y)0；(2)定义法：先依照条件得出动点的轨迹是某种曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入转移法相关点法 ：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某曲线上，那么可先用 x，y 的代数式表示 x0 ，y0，再将 x0，y0 代入曲线得要求的轨迹方程1一个差异 “轨迹方程 与“轨迹 “求动点的轨迹方程 和“ 求动点的轨迹 是不同样的前者只须求出轨迹的方程， 标出变量 x，y 的范围；
2、后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图形，并说明图形的形状、地址、大小等相关的数据2双向检验 求轨迹方程的注意点求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行： 一是方程的化简是否是同解变形； 二是可否吻合实质意义， 注意轨迹上特别点对轨迹的 “ 齐全性与纯粹性 的影响考向一直接法求轨迹方程【例 1】动点 P(x，y)与两定点 M( 1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数(0)(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)试依照 的取值情况谈论轨迹C 的形状【解】(1)由题意可知，直线 PM 与 PN 的斜率均存在且均不为零， 因此 kPM kPNy yx1
3、x122 ，整理得 x2y 1(0，x1)即动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2y 1(0，x1)(2)当 0 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线 (除去极点 )；当 1 0 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 (除去长轴的两个端点 )；当 1 时，轨迹 C 为以原点为圆心， 1 为半径的圆除去点 ( 1,0)，(1,0)当 1 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆 (除去短轴的两个端点 )【对点练习 1】 A，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线 AB 的垂线，垂足为 N. 假设 MN2ANNB，其中 为常数，那么动点M 的轨迹不能能是 (
4、)A 圆B椭圆C抛物线D双曲线【剖析】以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴，建立坐标系，设 M(x，y)，A(a,0)， 22222B(a,0)，那么 N(x,0)由于 MN ANNB，因此 y (xa)(ax)，即 x ya，当 1 时，是圆的轨迹方程；求轨迹方程-1当 0 且 1 时，是椭圆的轨迹方程；当 0 时，是双曲线的轨迹方程；当 0 时，是直线的轨迹方程综上，方程不表示抛物线的方程【答案】C考向二 定义法求轨迹方程2，它们的半径分别是和 ，且12动圆与圆内切，【例 2】两个定圆 O1 和O1O12又与圆 O2 外切，建立合适的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说
5、明轨迹是何种曲线【解】以以下图，以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系由 |O1O2|4，得 O1(2,0)， O2 (2,0)设动圆 M 的半径为 r，那么由动圆 M 与圆 O1 内切，有 |MO 1| r1；由动圆 M 与圆 O2 外切，有 |MO2 |r 2.|MO2| |MO1| 3.点 M 的轨迹是以 O1，O2 为焦点，实轴长为3 的双曲线的左支37a2，c2，b2c2 a24.4x24y21 x3点 M 的轨迹方程为 9 72 .【对点练习 2】如图 8-8-1 所示，圆 A： (x2)2 y21 与点 B(2,0)，分别求出满足以下条件
6、的动点 P 的轨迹方程(1) PAB 的周长为 10；(2)圆 P 与圆 A 外切，且过 B 点(P 为动圆圆心 )；(3)圆 P 与圆 A 外切，且与直线x 1 相切 (P 为动圆圆心 )【解】 (1)依照题意，知 |PA|PB| |AB|10，即 |PA| |PB|64|AB|，图 8-8-1故 P 点轨迹是椭圆，且2a6,2c 4，即 a3，c2，b 5.x2y2因此其轨迹方程为 95 1(y0)(2)设圆 P 的半径为 r ，那么 |PA| r1，|PB| r，因此 |PA|PB|1.115由双曲线的定义知， P 点的轨迹为双曲线的右支， 且 2a1,2c 4，即 a2，c2，b2 ，
7、2421因此其轨迹方程为 4x 15y 1x2 .(3)依题意，知动点 P 到定点 A 的距离等于到定直线 x2 的距离，故其轨迹为抛物线，且张口向左， p4. 因此其轨迹方程为 y2 8x.考向三代入法 (相关点法 )求轨迹方程【例 3】如图 8-8-2 所示，设 P 是圆 x2y2 25 上的动点，4点 D 是 P 在 x 轴上的投影， M 为 PD 上一点，且 |MD | 5|PD|.(1)当 P 在圆上运动时，求点M 的轨迹 C 的方程；求轨迹方程-2图 8-8-24(2)求过点 (3,0)且斜率为 5的直线被 C 所截线段的长度x x，P【解】 (1)设 M 的坐标为 (x，y)，
8、P 的坐标为 (xP，yP)，由得5x2 y2 yP4y. 在圆上，x25y2 ，即C的方程为P4252516 1.44112(2)过点 (3,0)且斜率为 5的直线方程为 y 5(x 3)，设直线与 C 的交点为A(x ，y )，B(x ，24x2x 3 22y )，将直线方程 y5(x3)代入 C 的方程，得 2525 1，即 x3x80.3 413 41.x ，x 122211641 4141.线段AB的长度为1x221y22x1x22|AB|xy25255【对点练习 2】(2021 合肥模拟 )如图 8-8-5 所示，以原点 O 为圆心的两个同心圆的半径分别为3 和 1，过原点 O 的
9、射线交大圆于点 P，交小圆于点 Q，P 在 y 轴上的射影为 0.M.动点 N 满足 PMPN且PMQN(1)求点 N 的轨迹方程；(2)过点 A(0,3)作斜率分别为 k1，k2 的直线 l1，l2与点 N 的轨迹分别交于 E，F 两点， k12 求证：直线EF过定点k9.图 8-8-5【解】 可知， ，三点共线且(1)由PMPN且PMQN0NPMQN.PM过点 Q 作 QNPM，垂足为 N，设 N(x，y)，|OP| 3， |OQ|1，由相似可知 P(3x，y)y2y2P 在圆 x2 y29 上， (3x)2y2 9，即 9 x2 1.因此点 N 的轨迹方程为9 x21.y k1 x3，22证明：设E，E，F， F ，依题意，由21 ，(2)E(x? (k19)x6k
