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1、复习题 1、数学科学按其内容可分成五个大学科：1）纯粹（基础）数学（Pure mathematics）2）应用数学（Applied mathematics）3）计算数学（Computational mathematics）4）运筹与控制（Operational research and control）5）概率论与数理统计（Probability theory and mathematical statistics）1+、数学进展的大致情况：两千多年来，数学的发展大体可以分为三个阶段：17世纪以前是数学发展的初级阶段（初等数学阶段），其内容主要是常量数学，如初等几何、初等代数；从文艺复兴时期开
2、始，数学发展进入第二个阶段，即变量数学阶段，产生了微积分、解析几何、高等代数；从19世纪开始，数学获得了巨大的发展，形成了近代数学阶段，产生了实变函数、泛函分析、非欧几何、拓扑学、近世代数、计算数学、数理逻辑等新的数学分支2、代数之父是 亚力山大后期的丢番图 ，代表作 算术 .16世纪末，法国数学家 韦达 ，开创了符号数学的先河,其代表作为分析引论。現在我们所用的加号“”及减号“”就是他所创用的。1859年， 李善兰 和英国传教士伟烈亚力合译英国数学家狄摩根的代数著作Elements of algebra 時，首次把“algebra”翻译为“代数”。3、公理化方法 非欧几何的出现，使数学家注意
3、到古希腊把公理当作自明的真理的局限性。分析的算术化研究不断深入，逐渐形成了科学的公理化方法。构造一个公理体系并不容易，要求满足以下条件： 相容性：即由公理导出的定理，没有哪两个是相互矛盾的； 完备性：即理论系统中的定理都可以从公理导出，也就是公理组有最少个数，不能有多余的； 独立性：即由公理导出的定理中中没有一个是另一个的逻辑结果。3+、演绎法（公理化方法）的基本构件： 定义 、 公理 和 定理 。3+、公理化方法的例子： 欧几里德几何原本 .4、归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。归纳法的特点：1） 立足于观察和实验; ；2） 结论具有猜
4、测的性质 ；3） 结论超越了前提所包括的内容 。数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题， 如果（1）P(n) 当n=1时成立；（2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也成立。 那么P(n)对任意自然数n都成立。 这两个步骤，（1）称为归纳起点，（2）称为归纳推断。数学归纳法是一种完全归纳法，其应用范围及其广泛归纳法：逻辑学中的方法数学归纳法：数学中的一般方法4+、类比法（数学上的类比）：两个系统，如果它们各自的部分之间，可以清楚地定义一些关系，在这些关系上，它们具有共性，那么，这两个系统就可以类比。例子：线段、三角形、四面体4+、数学构造法（数学中的概念或方法按固定的方式经有限步骤能
5、够定义或实现的方法。）的应用-构造概念、图形、公式、算法、方程、函数、反例、命题等例子：1）求一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的根。2）求两个正整数最大公因数的欧几里德辗转相除法。3）勾股定理（毕氏定理）。4+、数学化归法原则是指把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。数学化归有三个要素：化归的对象，化归的目标，化归的手段。实行化归的常用方法有：特殊化与一般，关系映射反演（RMI），分解与组合4+、数学模型方法（MM方法）-借助数学模型来揭示对象本质特征和变化规律的方法。5、数学学科的特点1. 抽象性；2
6、. 精确性；3. 应用的广泛性数学研究的“形”和“数”与现实世界中的物质内涵没有直接联系。数学抽象的特点在于：I.在数学抽象中保留了量的关系和空间形式而舍弃了其他；II.数学的抽象是一级一级逐步提高的,它们所达到的抽象程度大大超过了其他学科中的一般抽象;III.数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们相互关系的圈子之中.6、几何学分支简介1)欧氏几何 2)非欧几何 3)解析几何 4）射影几何 5)拓扑学 6)微分几何坐标几何与曲线方程思想-17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的。两位数学家敏锐地看到欧氏几何方法的局限性，认识到利用代数方法来研究几何问题，是改变传统方法的有效途径。 并为此开始了各自的
7、研究工作，把代数方程和曲线、曲面的研究联系在一起。6+：欧式几何和非欧几何的区别： 是否满足原本中的第五共设 。6+：解析几何的创始人是谁： 笛卡尔 和 费马 其基本思想是什么： 用代数方法去解决几何问题， 这是解析几何的基本思想。 6+、1）古典几何包括：欧氏几何、射影几何、解析几何、非欧几何等，（由欧几里德、笛卡尔、高斯、黎曼、罗巴切夫斯基等创建的。） 2）现代几何主要是指微分几何（在解析几何的基础上，如果要研究更复杂的图形，这些图形可能对应比较复杂的代数方程，甚至不能用代数方程来表示，这时需要借助微积分作为工具，由此产生了微分几何。），（由高斯、黎曼等人所奠基，再由嘉当、陈省身等人发扬光
8、大。）6、分析学分支：1.微积分学（研究函数的导数、积分的性质和应用）2.微分方程（从所给的微分方程解出解出未知函数）3.复变函数（研究解析函数的性质）4.实变函数（积分论、函数构造论）5.泛函分析（古典分析观点的推广，研究无穷维线性空间中映射理论）7、古典概型与几何概型各有什么特点？1）（有限性）试验有有限个基本事件;2)（等可能性）任何两个基本事件不可能同时出现，且每次试验中各可能结果出现的可能性均相同.1）样本空间是直线、平面或空间上的某个区域，含有无限多个样本点；2）各个样本点对应的基本事件的发生是等可能的。7+. 说说概率论和数理统计的关系？1）概率论是数理统计学的基础，数理统计学是
9、概率论的一种应用. 2）概率论与数理统计是两个并列的数学分支学科，并无从属关系.8、统计学的英文是什么？统计学是怎样的一门学科？Statistics数理统计是一门应用性很强的学科，它是研究如何有效地收集、整理和分析受随机影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，直至为采取决策和行动提供依据和建议的一门学科。8+.统计与数学的区别是什么？统计学数学出发点数据定义和公理研究方法归纳演绎评价方法好与坏对与错8+. 什么是随机现象的统计规律性？频率的稳定值说明随机事件发生的可能性大小是客观存在的。9、现代统计学的鼻祖是谁？ 英国 威廉佩蒂 9+.举例说明统计学的应用。市场调查与咨询物流交通运输业的统
10、计分析10、举一古代中国的运筹典故的例子。1）孙膑与田忌赛马2）围魏救赵10+.运筹学有哪些分支？ 1） 规划论(线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、多目标规划、随机规划、模糊规划等） 2）图论 3）决策论4）博弈论（对策论） 5）排队论(随机服务系统理论) 6）可靠性理论 7）搜索论10+.运筹学有哪些性质和特点？1) 运筹学的性质 a) 运筹学具有普遍性 b) 运筹学强调以量化为基础 c) 运筹学依靠多学科的交叉 d) 运筹学强调”整体最优” 2) 运筹学的特点 a) 目的性 b) 系统性 c) 有效性 d) 科学性 e) 参谋性 11、现代运筹学的发源地是哪里？谁被人们称为现代运筹
11、学之父？英国 Patrick Blackett（18971974）勋爵11+、洛伦兹的天气预报 Lorenz发现混沌运动的两个重要特点： （1） 对初值极端敏感； (2) 解并不是完全随机的。Lorenz之后，混沌学的研究开始蓬勃发展。 11+、举例说明混沌和分形学的应用：1）医学：利用混沌过程预测和控制癫痫，心律不齐等等病症2）天气预报3）通讯中的保密：基于混沌理论的保密通信、信息加密和信息隐藏技术的研究已成为国际热门前沿课题之一，也是高科技研究的一个新领域12、费马猜想的内容是什么?此猜想最终如何?Xn+Yn=Zn当n2时没有正整数解已解决 由1994年英国数学家Andrew Wiles的
12、108页论文解决了费马定理。他1996年获沃尔夫奖，1998年获菲尔兹奖。13、举例说明各种数学美?1.简洁美 大数表示 2.对称美 圆 3.和谐美 黄金分割 4.奇异美 六分之一14、什么是数学发展中心？说说数学发展中心的迁移规律。数学发展的历史上，常常有这样的情形：一个时期，可能在某一个地域，集中了大批优秀的数学家；数学在那里得到长足的发展，水平居于世界领先的地位；各地的数学工作者，向往和来到这一地域学习或工作。我们称这一地域为这一时期的“数学发展中心”。数学的发展与其它科学的发展一样，有一些要素：第一要有客观需求，第二要有经济保障，第三要有文化环境，第四要有大批人才15、哪一年哪一届的国
13、际数学家大会首次在中国北京举行？有何意义？2002年的第24届ICM，首次在中国北京举行ICM2002取得了巨大的成功，得到了国际数学界高度评价，它将以21世纪数学界的首次最高盛会和历史上第一次在发展中国家举办的数学家大会而载入史册。15+.你知道哪些国际数学大奖？菲尔兹奖(特点：4年一届 40岁以下。别称:数学界的诺贝尔奖)沃尔夫奖（终身成就 陈省身1984年获得了沃尔夫奖 威尔斯42获得）高斯奖邵逸夫奖苏步青奖16、世界数学年是哪一年？2000年为世界数学年17、何谓数学悖论? 一个命题，无论肯定它还是否定它都将导致矛盾的结果，这种命题称为悖论。数学中产生的悖论称为数学悖论18、三次数学危
14、机都和哪些数学悖论相联系?毕达哥拉斯悖论 贝克莱悖论 罗素悖论19、数学危机给数学带来怎样的影响?每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。20、不连续的函数是否可以求定积分？定积分的条件 有限个间断点的有界函数 不能21、罗素悖论的内容是什么？其通俗说法可以如何描述？以M表示“是其本身成员的所有集合的集合”（所有异常集合的集合），而以N表示“不是它本身成员的所有集合的集合”（所有正常集合的集合），于是任一集合或者属于M，或者属于N，两者必居其一，且只居其一。然后问：集合N是否是它本身的成员？22、 欧拉、阿基米德、牛顿、高斯 等四位被称为有史以来贡献最大的四位数学家。23、简要叙述哥尼斯堡七桥问题、哈密顿环球
