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1、经典易错题会诊与2012届高考试题预测(六)考点6 平面向量 经典易错题会诊 命题角度1 向量及其运算 命题角度2 平面向量与三角、数列 命题角度3 平面向量与平面解析几何 命题角度4 解斜三角形探究开放题预测 预测角度1 向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合 预测角度2 平面向量为背景的综合题 命题角度1 向量及其运算1 (典型例题)如图6-1，在 RtABC中，已知BC=a，若长为 2a的线段PQ以点A为中点，问与 的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值 考场错解此后有的学生接着对上式进行变形，更多的不知怎样继续 专家把脉 此题是湖北省20典型例题)已知，|a|=，|b|=3，a与b的
2、夹角为45，当向量a+b与a+b的夹角为锐角时，求实数A的范围 考场错解 由已知ab=|a|b|cos45=3，a+b与a+b的夹角为锐角，(a+b)(a+b)0即|a|2+|b|2+(2+1)ab=0，2+9+ 3(2+1)0，解得实数的范围是专家把脉 解题时忽视了a+b与a+b的夹角为0的情况，也就是(a+b)(a+b)0既包括了 a+b与a+b的夹角为锐角，也包括了a+b与a+b的夹角为0，而a+b与a+b的夹角为0不合题意对症下药 由已知ab=|a|b|，|b|cos45=3又a+b与a+b的夹角为锐角，(a+b)(a+ b)0，且a+b(a+b)(其中 k,0)由(a+b) (a+b
3、)0，得|a|2+|b|2+(2+1)ab0即32+11 +30，解得由a+b (a+b)，得1,，即1，综上所述实数的取值范围是(-，,1)(1，+) 3(典型例题)已知O为ABC所在平面内一点且满足，则AOB与AOC的面积之比为 ( ) A1 B. D2 考场错解 O在BC边上，且 ,又AOB与AOC高相等，AOB与AOC的面积之比为2，选D 专家把脉 缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有O为ABC的重心的情况下，才有，而本题无此已知条件 对症下药 (1)如图6-3，在AB上取一点D，使又由已知O为CD的中点，不妨设SAOC =S，则SAOD=S(两者等底同高)AOB的
4、面积与AOC的面积之比为3：2，选B(2)不妨设A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，O(x,y)，则由专家会诊向量的基本概念是向量的基础，学习时应注意对向量的夹角、模等概念的理解，不要把向量与实数胡乱类比；向量的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时不要过分偏重坐标式，有些题目用向量式来进行计算是比较方便的，那么对向量的加、减法法则、定比分点的向量式等内容就应重点学习，在应用时不要出错，解题时应善于将向量用一组基底来表示，要会应用向量共线的充要条件来解题.考场思维调练 1 ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且 (1)求1 答案：由已知得2，所以 (2)求ABC的面积
5、答案：设AOB=，AOC=，BOC=，由=，得cos=，sin=，SAOB= |sin=11 同理可求得cos=-，sin=，SAOC= cos=-，sinr=，SBOC= 由于为锐角，,为钝角，所以不可能在AOB内部，故AOB、AOC、BOC互不重叠SABC=SAOB+ SAOC+SBOC=2 已知向量a=(1，1)，b：(1，0)，c满足ac=0，且|a|=|c|，bc0 (1)求向量c；答案：设 =(m，n)，由ac=0，得m+n=0再由，|a|=|c|，得m2+n2=2，联立，解得m=1，n= -1或m=-l，n=1，又b，c=(1，0)(m，n)=m0 m=1，n=-1，c=(1，-
6、1) (2)若映射f:(x，y)+(x，y)=xo+yc，将(x，y)看作点的坐标，问是否存在直线l，使得l上任一点在映射f的作用下的点仍在直线l上，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由答案： xa+yc=y(1，1)+y(1，-1)=(x+y，x-y)，则f:(x，y)(x+y，x-y)假设存在直线l满足题意当l的斜率不存在时，没有符合条件的直线l;当l的斜率存在时，设l：y=kx+m，在l上任取一点p(x0,y0)，则p在映射f作用下的点Q(x0+y0，x0-y0)，Q也应在l上，即x0-y0=k(x0+y0)+m又(x0，y0)在l上y0=kx0+m，整理得(1-2k-k2)x
7、0-(k+2)m=0，此式对于任意x0恒成立1-2k-k2=0，(-k+2)m=0 解得k=-1，m=0，综上所述，存在直线l：y=(-1)x符合题意 3 已知A、B、C三点共线，O是该直线外一点，设=a，且存在实数m，使ma-3b+c成立求点A分 所成的比和m的值答案：解：设点A分所成比为，则=，所以-=(-)即a-b=(c-d)，则(1+)a-b-c=0 (1)由已知条件得c=3b-ma代人(1)得(1+)a-b-3b+ma=0，即(1+m)a-(1+3)b=0 不共线，a、b不共线 1+m=0，1+3=0，解得=-，m=2 A分所成的比为-，m=21.（典型例题）设函数f(x)=ab,其
8、中a=(2cosx,1),b=(cosx,)求x;(2)若函数y=2sin2x的图像按向量c=(m,n)(|m|0，sin2=cos，由于cos0，得sina= ，则cos=2设向量a=(cos23，cos67)b=(cos68，cos22)，c =a+tb(tR)，求|c|的最小值 答案：解：|a|=1， |b|=1 ab=cos23cos68+cos67cos22=cos23cos68+sin23sin68=cos(23-68)= |c|2=(a+tb)2=|a|2+t2|b|2+2tab=t2+1+t. |c|的最小值为，此时t=-3 已知向量a=(2，2)，向量b与a的夹角为，且ab=
9、-2 (1)求向量b;答案：设b=(x，y)，ab=-2，2x+2y=-2，即x+y=-1，(1)，又a与b的夹角为，|b|=1，x2+y2=1 (2)，联立(1)、(2)得x=-1，y=0或x=0，y=-1， b=(-1，0)或b=(0，-1) (2)若t=(1，0)且bt，c=(cosA，2cos2)，其中A、C是ABC的内角，若三角形的三个内角依次成等差列，试求，|b+c|的取值范围答案：由题意得B=，A+C=，bt，t=(1，0)，b=(0，-1)，b+C=(cosA，cosC)，|b+C|2=cos2A+cos2c=1+(cos2A+cos2C)1+cos2A+cos2(-A)=1+cos(2A+)，0A，2A+，-1cos(2A+)，|b+c|2 ，|b+c|命题角度3平面向量与平面解析几何 1(典型例题)已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点F(-m，0)(m是大于0的常数)(1)求椭圆的方程； (2)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y 轴交于点M，若，求直线l的斜率 考场错解 第(2)问：设Q(xo，yo)，直线J的方程为 y=k(x+m)，则点M(0，km)，由已知得F、Q、M三点共线，且 ，由于F(-m，0)， M(0，km)，由定比分点坐标公式，得xQ= 专家把脉 缺乏分类讨论的思想，没有考虑图形的多样性，将进行转化时出现错误，依题意应转
