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1、【2013年中考攻略】专题12：数学思想方法之归纳探讨数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题。归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察
2、、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力。结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳。一、根据数的排列或运算规律归纳：典型例题： 例1. （2012广东肇庆3分）观察下列一组数：， ，它们是按一定规律排列的，那么
3、这一组数的第k个数是 【答案】。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】根据已知得出数字分母与分子的变化规律： 分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，第k个数分子是2k，分母是2k+1。这一组数的第k个数是。例2. （2012福建三明4分）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是 【答案】900。【考点】分类归纳（数字变化类）。【分析】寻找规律： 上面是1，2 ，3，4，；左下是1，4=22，9=32，16=42，； 右下是：左下数字减上面数字差的平方：（11）2，（42）2，（93）2，（164）2，a=（366）2=900。例3. （2012湖北恩施4分）观察数表根
4、据表中数的排列规律，则B+D= 【答案】23。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】仔细观察每一条虚线或与虚线平行的直线上的数字从左至右相加等于最上而的一个数字，1+4+3=B，1+7+D+10+1=34。B=8，D=15。B+D=8+15=23。例4. （2012四川巴中3分）观察下面一列数：1，2，3，4，5，6，根据你发现的规律，第2012个数是 【答案】2012。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】1，2，3，4，5，6，规律为绝对值是连续的自然数，第奇数个数是正数，第偶数个数是负数， 第2012个数是：2012。例5. （2012辽宁丹东3分）将一些形状相同的小五角星如下图
5、所示的规律摆放，据此规律，第10个图形有 个五角星. 【答案】120。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】寻找规律：不难发现， 第1个图形有3=221个小五角星；第2个图形有8=321个小五角星；第3个图形有15=421个小五角星；第n个图形有（n1）21个小五角星。 第10个图形有1121=120个小五角星。例6. （2012贵州遵义4分）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是 【答案】。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】分数的分子分别是：2 2=4，23=8，24=16，2n。分数的分母分别是：2 2+3=7，23+3=11，24+
6、3=19，2n3。第n个数是。例7. （2012黑龙江大庆3分）已知l=1，l1=121，l11=12321，则依据上述规律，的计算结果中，从左向右数第12个数字是 .【答案】4。【考点】分类归纳（数字的变化类）。119281【分析】根据平方后的结果的规律，从左向右依次是从1开始的连续的自然数再逐渐减小至1，且中间的自然数与底数的1的个数相同，根据此规律写出即可得解：12=1，112=121，1112=12321，=123456787654321，所以的第12个数字是4。例8. （2012湖南益阳10分）观察图形，解答问题：（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：图图图三个角上三个数的积1（1
7、）2=2（3）（4）（5）=60三个角上三个数的和1+（1）+2=2（3）+（4）+（5）=12积与和的商22=1，（2）请用你发现的规律求出图中的数y和图中的数x【答案】解：（1）填表如下：图图图三个角上三个数的积1（1）2=2（3）（4）（5）=60（2）（5）17=170三个角上三个数的和1+（1）+2=2（3）+（4）+（5）=12（2）+（5）+17=17积与和的商22=1（60）（12）=517010=17（2）图：5（8）（9）=360，5+（8）+（9）=1，y=360（12）=30。图：由（1x3）（1x3）=3，解得x=2。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】（1）根
8、据图形和表中已填写的形式，即可求出表中的空格；（2）根据图可知，中间的数是三个角上的数字的乘积与和的商，列出方程，即可求出x、y的值。例9. （2012浙江丽水、金华3分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，称为三角形数类似地，图2中的4，8，12，16，称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是【 】A2010B2012C2014D2016【答案】D。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】观察发现，三角数都是3的倍数，正方形数都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是12的倍数，然后对各选项计算进行判断即可得解： 201012167
9、6，2012121678，20141216710，201612168，2016既是三角形数又是正方形数。故选D。例10. （2012贵州毕节5分）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有 个小正方形。【答案】100。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】寻找规律： 第1个图案中共有1=12个小正方形；第2个图案中共有4=22个小正方形；第3个图案中共有9=32个小正方形；第4个图案中共有16=42个小正方形；第10个图案中共有102=100个小正方形。练习题：1. （2012山东潍坊3分）下图中每一个小方格的面积为l，则可根据面积计算得到如
10、下算式：1+3+5+7+(2n1)= .(用n表示，n是正整数)2. （2011江苏南京2分）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为 3. （2011辽宁沈阳4分）宁宁同学设计了一个计算程序，如下表输入数据12345输出数据a根据表格中的数据的对应关系，可得的值是 4. （2011辽宁本溪3分）根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字 。5.
11、（2011江苏扬州3分）如图，立方体的六个面上标着连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这六个数的和为 6. （2011山东菏泽3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是 7. （2011四川广元5分）已知一组数为：1，按此规律用代数式表示第n个数为 8. （2011云南大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧3分）下面是按一定规律排列的一列数：，那么第个数是 .9. （2011贵州六盘水4分）有一列数：，则它的第7个数是 ;第n个数是 。10. （2011浙江省3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2
12、个“树枝”， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝”，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”【 】 A.28 B.56 C.60 D. 124二、根据式的排列或运算规律归纳：典型例题：例1. （2012江苏盐城3分）已知整数满足下列条件：, ,依次类推，则的值为【 】 A B C D【答案】B。【考点】分类归纳（数字的变化类）【分析】根据条件求出前几个数的值，寻找规律，分是奇数和偶数讨论： ， ，当是奇数时，是偶数时， 。故选B。例2. （2012浙江台州5分）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“ab”，使得下列算式成立：12=21=3，（3）（4）=（4）（3
13、）=，（3）5=5（3）=，你规定的新运算ab= （用a，b的一个代数式表示）【答案】。【考点】分类归纳（数字的变化类），新定义。【分析】寻找规律： ， ， 。例3. （2012江苏泰州3分）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：， ，【答案】。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】寻找规律，代数式的系数为1，3，5，7，9，是奇数排列；代数式字母的指数为1，2，3，4，5，是自然数排列。所以在横线上的代数式是。例4. （2012湖南株洲3分）一组数据为：x，2x2，4x3，8x4，观察其规律，推断第n个数据应为 【答案】。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】寻找规律：（1）单项式的系数为1，2，3，4，即n为奇数时，系数为正数，n为偶数时，系数为负数，系数的绝对值为，即系数为；（2）单项式的指数为n。第n个数据应为。例5. （2012湖南衡阳3分）观察下列等式sin30= cos60=sin45= cos=45=sin60= cos30=根据上述规律，计算si
