绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一.选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分1）已知集合M = {x | (x -1)2 < 4, x∈R}，N =｛-1,0,1,2,3｝，则M∩N =( ) （A）{0,1,2｝ （B）{-1,0,1,2} （C）{-1,0,2,3} （D）{0,1,2,3}（2）设复数z满足(1-i )z = 2 i ，则z =( )（A）-1+i （B）-1-i （C）1+ i （D）1-i（3）等比数列{an}的的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1 =( )（A） （B） （C） （D）（4）已知m, n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ,则：( )（A）α∥β且l∥α （B）α⊥β且l⊥βS = S+T否开始k =1, S = 0,T =1T=k > N是输出S结束输入Nk= k +1（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则a =( )（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N =10，那么输出的S =( )（A）1+ + +…+ （B）1+ + +…+ （C）1+ + +…+ （D）1+ + +…+ （7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0），(1,1,1），(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为( )(A)(B)(C)(D)（8）设a = log36，b = log510，c = log714，则( )（A）c > b > a （B）b > c > a （C）a > c > b （D）a > b > c（9）已知a > 0，x, y满足约束条件 , 若z =2x + y的最小值为1，则a =( )（A） （B） （C）1 （D）2（10）已知函数f (x ) = x 3 + ax 2 +bx +c，下列结论中错误的是( ) （A）$x0∈R, f (x0)= 0 （B）函数y = f (x )的图像是中心对称图形 （C）若x0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(-∞, x0)单调递减 （D）若x0是f (x )的极值点，则f '(x0 ) = 0（11）设抛物线C：y2 =2px ( p > 0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )（A）y2 = 4x或y2 = 8x （B）y2 = 2x或y2 = 8x（C）y2 = 4x或y2 = 16x （D）y2 = 2x或y2 = 16x（12）已知点A(-1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y = ax +b (a > 0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )（A）(0，1) （B）(1-, ) （C）(1-, ] (D) [ , )第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则• = .（14）从n个正整数1, 2, …, n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n = .（15）设θ为第二象限角，若，则 .（16）等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10 = 0，S15 = 25，则nSn 的最小值为 .三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a = bcosC + csinB.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b =2，求△ABC面积的最大值.（18）如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1 = AC = CB = AB.（Ⅰ）证明：BC1 //平面A1CD;（Ⅱ）求二面角D-A1C-E的正弦值.（19）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品以X（单位：t，100 ≤ X ≤ 150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个需求量，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若X∈[100,110),则取X = 105，且X = 105的概率等于需求量落入[100，110]的概率），求T的数学期望.(20)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： 的右焦点的直线x + y-= 0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.（Ι）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积最大值.（21）已知函数f (x ) =.（Ι）设x = 0是f (x )的极值点，求m，并讨论f (x )的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f (x ) > 0 .请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。
22）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆1） 证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2） 若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值23）已知动点P，Q都在曲线C：上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π）, M为PQ的中点.（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程;（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点24）设a，b，c均为正数，且a+b+c =1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac ≤ ；（Ⅱ）+ + ≥1参考答案：一、 选择题(1) A(2) A(3) C(4) D(5) D(6) B(7) A(8) D(9) B(10) C(11) C(12) B二、 填空题（13）2 （14）8 （15） （16）-49三、 解答题（17） （Ⅰ）B= ；（Ⅱ） （18） （Ⅱ）二面角D-A1C-E的正弦值为 （19）（Ⅰ） （Ⅱ）0.7 （Ⅲ）（20）（Ⅰ）M的方程为： （Ⅱ）（21）（Ⅰ）（23）：（23）：。