六方晶系四指数推导纲要1.4 晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连结点阵中随意结点列的直线方向）晶体中的某些方向，波及到晶体中原子的地点，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向2 晶面晶面：经过空间点阵中随意一组阵点的平面（在点阵中由结点组成的平面）晶体中原子所组成的平面不同的晶面和晶向拥有不同的原子摆列和不同的取向资料的很多性质和行为（如各样物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特征等）都和晶面、晶向有亲密的关系所以，为了研究和描绘资料的性质和行为，第一就要想法表征晶面和晶向为了便于确立和差别晶体中不同方向的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来一致标定晶向指数与晶面指数二晶向指数和晶面指数确实定1 晶向指数确实定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示1)成立以晶轴a，，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，，bbc，坐标原点在待标晶向上2) 选用该晶向上原点之外的任一点P(xa，yb，zc)3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w=xa∶yb∶zc4)将u，v，w三数置于方括号内就获得晶向指数[uvw]。
图1晶向指数确实定方法/图2不同的晶向及其指数自然，在确立晶向指数时， 坐标原点不必定非选用在晶向上不行 若原点不在待标晶向上，那就需要选用该晶向上两点的坐标 P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，而后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z1-z2)三个数化成最小的简单整数，，，并使之知足∶∶=(1-2)∶(1-y2)∶(1-z2)uvwuvwxxyz则[uvw]为该晶向的指数明显，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[010]与[010]说明：a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向c晶向族：晶体中原子摆列状况相同但空间位向不同的一组晶向 用表示，数字相同，但摆列次序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族晶体构造中那些原子密度相同的等同晶向称为晶向轴，用 表示<100>：[100][010][001][100][010][001]<111>：[111][111][111][111][111][111][111][111]图3正交点阵中的几个晶向指数2晶面指数确实定国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来表示晶面指数（面为待确立的晶面，其确立方法以下。
hkl）图4中的红色晶图4晶面指数确实定(1) 成立一组以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c2) 求出待标晶面在a，b，c轴上的截距xa，yb，zc如该晶面与某轴平行，则截距为∞3) 取截距的倒数1/xa，1/yb，1/zc4)将这些倒数化成最小的简单整数比h，，，使h∶∶=1/xa∶1/∶1/zcklklyb(5) 若有某一数为负值，则将负号标明在该数字的上方，将h，k，l置于圆括号内，写成(hkl)，则(hkl)就是待标晶面的晶面指数说明：晶面指数所代表的不单是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面a 指数意义：代表一组平行的晶面；b0的意义：面与对应的轴平行；c 平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反；d 晶面族：晶体中拥有相同条件（原子摆列和晶面间距完整相同），空间位向不同的各组晶面，用{hkl}表示在立方系中，{100}：（100）（010）（001），{110}：（110）（101）（011）（110）（101）（011），{111}：（111）（111）（111）（111）e若晶面与晶向同面，则 hu+kv+lw=0;f若晶面与晶向垂直，则 u=h,k=v,w=l。
立方系常用晶面指数图 5图5立方系常用晶面指数例子：请确立图 6中的晶面的晶面指数，并在图 7中画出这些晶面指数所代表的晶面第一选定坐标系，以下图而后求出待标晶面在 a，b，c轴上的截距，分别为 a/2，2b/3，c/2取倒数后获得 2，3/2，2再将其化成最小的简单整数比，获得 4，3，4三个数于是该面的晶面指数为 (434)图6图7晶面指数的标明所有相互平行的晶面在三个晶轴上的截距固然不同，但它们是成比率的，其倒数也仍旧是成比率的，经简化能够获得相应的最小整数所以，所有相互平行的晶面，其晶面指数相同，或许三个符号均相反可见，晶面指数所代表的不单是某一晶面，并且代表着一组相互平行的晶面图8立方晶胞的{110}、{111}晶面族3 对于晶面指数和晶向指数确实定方法还有以下几点说明：(1) 参照坐标系往常都是右手坐标系坐标系能够平移（因此原点可置于任何地点）但不可以转动，不然，在不同坐标系下定出的指数就没法相互比较2)晶面指数和晶向指数可为正数，亦可为负数，但负号应写在数字上方，如（123），[211]等3)若各指数同乘以不等于零的数n，则新晶面的位向与旧晶面的相同，新晶向与旧晶向或是同向(当n>0)，或是反向(当n<0)。
可是，晶面距（两个相邻平行晶面间的距离）和晶向长度（两个相邻结点间的距离）一般都会改变，除非n=1从以上各例能够看出，立方晶体的等价晶面拥有“近似的指数”，即指数的数字相同，不过符号（正负号）和摆列序次不同这样，我们只需依据两个（或多个）晶面的指数，就能判断它们能否为等价晶面另一方面，给出一个晶面族符号{hkl}，也很简单写出它所包含的所有等价晶面对于非立方晶系，因为对称性改变，晶面族所包含的晶面数量就不相同晶面(100)，(010)和(001)其实不是等同晶面，不可以以 {100}族来包含比如正交晶系，与晶面族近似，晶体中因对称关系而等同的各组晶向可合并为一个晶向族，用 表示模仿上例，读者能够写出在立方晶系中的 <100>，<110>，<111>，<112>和<123>等晶向族所包含的等价晶向此后，在议论晶体的性质 (或行为)时,若碰到晶面族或晶向族符号， 那就表示该性质（或行为）对于该晶面族中的任一晶面或该晶向族中的任一晶向都相同成立， 因此没有必需划分详细的晶面或晶向此外，在立方晶系中，拥有相同指数的晶向和晶面必然是相垂直的，即 [hkl]⊥(hkl)4. 六方晶系指数表示上边我们用三个指数表示晶面和晶向。
这类三指数表示方法，原则上合用于随意晶系对六方晶系，取a，b，c为晶轴，而a轴与b轴的夹角为120°，c轴与a，b轴相垂直，如图9所示图9六方晶体的等价晶面和晶向指数可是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向有一个很大的弊端，即晶体学上等价的晶面和晶向不拥有近似的指数这一点能够从图9看出图中六棱柱的两个相邻表面（红面和绿面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒指数却分别是（110）和(100)图中夹角为60°的两个密排方向D1和D2是晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别是[100]和[110]因为等价晶面或晶向不拥有近似的指数，人们就没法从指数判断其等价性，也没法由晶面族或晶向族指数写出它们所包含的各样等价晶面或晶向，这就给晶体研究带来很大的不便为了战胜这一弊端，或许说，为了使晶体学上等价的晶面或晶向拥有近似的指数，对六方晶体来说，就得放弃三指数表示，而采纳四指数表示（密勒-布拉菲指数）四指数表示是鉴于4个坐标轴：a1，a2，a3和c轴，如图10所示，此中，a1，a2和c轴就是原胞的a，b和c轴，而a3=-(a1+a2)下边就分别议论用四指数表示的晶面及晶向指数图10六方晶体的四轴系统（1）六方晶系晶面指数的标定六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶系中的相同，从待标晶面在 a1，a2，a3和c轴上的截距可求得相应的指数 h，k，i，l，于是晶面指数可写成 (hkil)。
依据几何学可知， 三维空间独立的坐标轴最多不超出三个 应用上述方法标定的晶面指数形式上是 4个指数，可是不难看出，前三个指数中只有两个是独立的， 它们之间有以下的关系：i=-(h+k)，所以，能够由前两个指数求得第三个指数六方晶体中常有晶面及其四指数（亦称六方指数）标于图 11中从图看出，采纳四指数后，同族晶面（即晶体学上等价的晶面）就拥有近似的指数比如：共6个等价面(Ⅰ型棱柱面)共6个等价面(Ⅱ型棱柱面 )而{0001}只包含(0001)一个晶面，称为基面六方晶体中比较重要的晶面族还有，请读者写出其所有等价面图11六方晶体中常有的晶面（2）六方晶系晶向指数的标定采纳四轴。