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1、 方法技巧专题(九)角的存在性问题1.2018乐山 如图F9-1,曲线C2是双曲线C1:y=(x0)绕原点O逆时针旋转45得到的图形,P是曲线C2上任意一点,点A在直线l:y=x上,且PA=PO,则POA的面积等于()图F9-1A.B.6C.3D.122.2018宿迁 如图F9-2,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x0)的图象与正比例函数y=kx,y=x(k1)的图象分别交于点A,B.若AOB=45,则AOB的面积是.图F9-23.如图F9-3,在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,0),B(0,2),点C在第一象限,ABC=135,AC交y轴于点D,CD=3AD,反比例函数y=的图象经过
2、点C,则k的值为.图F9-34.如图F9-4,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,2,.ADP沿点A旋转至ABP,连结PP,并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证:APP是等腰直角三角形;(2)求BPQ的大小;(3)求CQ的长.图F9-45.如图F9-5,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连结BD,点P为抛物线上一点,且DBP=45,求点P的坐标.图F9-56.如图F9-6,在平面直角坐
3、标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M,A,B的坐标;(2)连结AB,AM,BM,求ABM的正切值;(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x轴正半轴的夹角为,当=ABM时,求点P的坐标.图F9-67.如图F9-7,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PEx轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)若存在点P,使PCF=45,求点P的坐标.图F9-78
4、.2018莱芜 如图F9-8,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DEBC于点E.(1)求抛物线的函数表达式.(2)如图,求线段DE长度的最大值.(3)如图,设AB的中点为F,连结CD,CF,是否存在点D,使得CDE中有一个角与CFO相等?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.图F9-8参考答案1.B解析 如图,将点P绕点O顺时针旋转45,得到点P的对应点P,曲线C2是双曲线C1:y=(x0)绕原点O逆时针旋转45得到的图形,点P在双曲线y=上,且OP=OP,过点P作PMy轴于点M,过点P作PHOA于点H.OPM
5、的面积=|k|=3.PA=PO,OH=AH.又点A在直线l:y=x上,AOM=45,而POP=45,不妨设MOP=,OPM=90-,POA=45+(45-)=90-,POA=OPM.又PHO=PMO=90,OP=OP,OPHPOM(AAS),OPH的面积=OPM的面积=3.又OH=AH,OPA的面积为6.故选B.2.2解析 如图,过点O作OCAB,垂足为C,过点A作AMy轴,垂足为M,过点B作BNx轴,垂足为N.设点A的横坐标为a,则点A的纵坐标为.点A在正比例函数y=kx的图象上,=ka,k=.OB所在直线的解析式为y=x.令x=,得x=,此时y=a.点B的坐标为(,a).OA=OB,AOC
6、=BOC,OAMOBN.AOB=45,AOC=AOM.OAMOAC.SOAB=2SOAM=2.3.94.解:(1)证明:ABP是由ADP顺时针旋转90得到的,AP=AP,PAP=90, APP是等腰直角三角形.(2)APP是等腰直角三角形,AP=1,APP=45,PP=.又BP=DP=,BP=2,PP2+BP2=BP2,BPP=90.APP=45,BPQ=180-APP-BPP=45. (3)过点B作BEAQ于点E,则PBE为等腰直角三角形, BE=PE,BE2+PE2=PB2,BE=PE=2,AE=3,AB=,则BC=.BAQ=EAB,AEB=ABQ=90,ABEAQB,= ,即 =,AQ=
7、,BQ=,CQ=BC-BQ=.5.解:(1)抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,解得抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.(2)点D(m,m+1)在抛物线上,m+1=-m2+3m+4,即m2-2m-3=0,m=-1或m=3.点D在第一象限,点D的坐标为(3,4).由(1)知OC=OB,CBA=45. 如图,设点D关于直线BC对称的点为点D.C(0,4),CDAB,且CD=3,DCB=DCB=45,点D在y轴上,且CD=CD=3,OD=1,D(0,1),即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1). (3)如图,过点P作PFAB于点F,过点D作DEBC于点E.由(1
8、)有OB=OC=4,OBC=45.DBP=45,CBD=PBA.C(0,4),D(3,4),CDOB且CD=3,DCE=CBO=45,DE=CE=.OB=OC=4,BC=4,BE=BC-CE=,tanPBF=tanCBD=.设PF=3t,则BF=5t,OF=5t-4,P(-5t+4,3t).P点在抛物线上,3t=-(-5t+4)2+3(-5t+4)+4,t=0(舍去)或t=,P(-,).6.解:(1)抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=(x-1)2-3.顶点M(1,-3),令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,点A(0,-2).当x=3时,y=(3-1)2-3=4-3=
9、1,点B(3,1).(2)如图,过点B作BEy轴于点E,过点M作MFy轴于点F,EB=EA=3,EAB=EBA=45,同理可求FAM=FMA=45,ABEAMF,=.又BAM=180-452=90.tanABM=.(3)如图,过点P作PHx轴于点H.y=(x-1)2-3=x2-2x-2, 设点P(x,x2-2x-2),点P在x轴上方时,=,整理,得3x2-7x-6=0,解得x1=-(舍去),x2=3,点P的坐标为(3,1).点P在x轴下方时,=,整理,得3x2-5x-6=0,解得x1=(舍去),x2=.当x=时,y=x2-2x-2=-,点P的坐标为(,-).综上所述,点P的坐标为(3,1)或(
10、,-).7.解:(1)由抛物线过点C(0,2),D(3,),可得解得故抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)设P(m,-m2+m+2).如图,当点P在CD上方且PCF=45时,过点P作PMCD于点M,过点C作CNPF于点N,则PMFCNF, =2,PM=CM=2MF=2CF.PF=FM=CF=CN=CN=m.又PF=-m2+3m,-m2+3m=m.解得m1=,m2=0(舍去),P(,).当点P在CD下方且PCF=45时,同理可以求得另外一点为P(,).8.解析 (1)由抛物线经过A,B,C三点,用待定系数法可求函数表达式;(2)先求出直线BC的函数关系式,再过点D作DMx轴交BC于点M,设
11、点D的坐标,表示出点M的坐标,利用相似三角形将线段DE的长转化为DM的长,得到一个二次函数表达式,再根据二次函数的性质求最值;(3)由CED=COF=90,分两种情况求解:DCE=CFO;CDE=CFO.解:(1)由题意,得解得y=-x2+x+3.(2)设直线BC的解析式为y=kx+m,则有解得y=-x+3.设D(n,-n2+n+3) (0n4).如图,过点D作DMx轴交BC于点M, M(n,-n+3).DM=(-n2+n+3)-(-n+3)=-n2+3n.DME=OCB,DEM=COB,DEMBOC,=.OB=4,OC=3,BC=5,DE=DM.DE=-n2+n=-(n-2)2+.当n=2时
12、,DE取最大值,最大值是.(3)假设存在这样的点D,使得CDE中有一个角与CFO相等.F是AB的中点,OF=1,tanCFO=2.如图,过点B作BGBC交CD的延长线于点G,过点G作GHx轴于点H.DEBC,CED=90,则只可能是另外两个角与CFO相等.DCE=CFO,则tanDCE=2,BC=5,BG=10.GBHBCO,=,GH=8,BH=6.G(10,8).设直线CG的解析式为y=kx+t,解得y=x+3.依题意,得解得x=或x=0(舍).若CDE=CFO,同理可得,BG=,GH=2,BH=,G(,2).同理可得直线CG的解析式为y=-x+3.依题意,得解得x=或x=0(舍).综上所述,存在点D使得CDE中有一个角与CFO相等,其横坐标为或.
