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1、 第三章： 一维定态问题1对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明 并证明当时上述结果与经典结论一致。解写出归一化波函数： （1）先计算坐标平均值：利用公式： （2）得 （3）计算均方根值用以知，可计算利用公式 （5） （6） 在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度。故当时二者相一致。#2试求在不对称势力阱中粒子的能级。 解 （甲法）：根据波函数标准条件，设定各区间的波函数如下：(x0区)： （1）（0xa区）： （3）但 写出在连接点x=0处连续条件 （4） （5）x=a处连续条件 （6） （7）（4）（5）二
2、式相除得（6）（7）二式相除得从这两式间可消去B，C，得到一个间的关系 解出，得 （8）最后一式用E表示时，就是能量得量子化条件：（乙法）在0x0区）中仅有透射波 (2)但 考虑在原点0（x=0）处波函数（x）和一阶倒数（x）的连接性，有： 即 (3) 即 (4)因按题意要计算反射系数， 同理 (5)，若求比值，可从（）（）消去，得到： #5试证明对于任意势垒，粒子的反射系数满足。（解）任意的势垒是曲线形的，如果（x）没有给定，则（x）不能决定，因而无法计算各种几率流密度。但如果附图所示（x）满足二点特性： (1) (2) 我们近似地认为当时波函数的解是 时波函数的解是 但由于粒子几率流的守恒
3、（V（x）是实数函数）：在数量上入射几率流密度 应等于反射的 和透射的 的和，即： (1)仿前题的算法，不必重复就可以写出： (2)这里的（1）（2）是等效的，将（1）遍除得： 即 得证将（2）式遍除得另一种形式：#6设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用： 描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。（解）（甲法）一维无限深势阱的本征态波函数是 （1）题给波函数可用本征函数展开： 因此 是非本征态，它可以有二种本征态，处在态上的几率是。这时能量是，处在态上的几率是，这时能量是。 （乙法）可以运用叠加原理的展开式的系数的决定法来求C，其余同。按一般原理，将已知函数 展开成算符的分立本 数谱时，有 在
4、本题中，有 按罗比达法则最后一式只有有贡献相当于m=1，或3。，其余与甲法同。#7设一谐振子处于基态，求它的并验证测不准关系： （解）由对称性知道，同理也由对称性知道对谐振子而言，应先写出归一化波函数： 但 （1）于是 （2）为了计算这个积分，利用厄米多项式不同阶间的递推式： （3）此式作为已知的，不证。将前式遍乘，重复用公式 （4）将此式代入（2）此式最后一式第一项。第三项都和 的正交化积分式成比例，都等于零。第二项和归一化积分成比例；可以简化 再计算，这可以利用波函数满足的微分方程式： （是振子质量）将此遍乘对积分测不准关系中的不准度是：测不准关系中的不准度是：= 因m=0, 而#8 设粒
5、子处于无限深势阱中，状态用波函数描述，是归一化常数，求（1）粒子取不同能量几率分布。（2）能量平均值及涨落。(解)在物理意义上，这是一种能量的非本征态，就是说体系在这种态上时，它的能量是不确定的，薛定谔方程是能量的本征方程，波函数不会满足薛氏方程式。 但我们知道势阱中的粒子满足边界条件的解是：（n=1,2,3,）这种解是能量本征态，相应的能量按叠加原理非本征态可用本征函数谱展开：（1） （1） （2）利用积分公式： 于（2）式，可求得： （3）此式只有为奇数时才不为0，故只有量子数奇数的态 （4）仍是归一化的，故粒子具有能级：的几率是 （5）（2）能量的平均值可以按照已知几率分布的公式计算： （n奇数） （6） 根据福利衰级数可计算(n奇) 有几种方法，例如： ()上式中令x=0立刻得 (7)代(6)式得 另一方法是直接依据题给的能量非本征态用积分法求平均值: 能够这样的原因是是厄米算符.(3)能量的涨落指能量的不准度现需求能量平方的平均值,这可利用前半题结果,既的值来计算. 但关于此求和式也用福利衰级数 （展开区间）此式中可取,代入得, （补白）：本题若直接用积分求要利用厄米性： #9一维无限深势阱中求处于态的粒子的动量分布几率密度。 （解）因为是已知的，所以要求动量分布的几率密度，先要求动量波函数，这可利用福利衰变换的一维公式: 利用不定积分公式 用于前一式：
