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1、湖南省长沙市麓山国际实验学校2024年高一数学第二学期期末质量检测试题请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1如果直线l过点（2，1），且在y轴上的截距的取值范围为（1，2），那么l的斜率k的取值范围是（ ）A（，1）B（1，1）C（，）（1，+）D（，1）（1，+）2得到函数的图象，只需将的图象（ ）A向左移动
2、B向右移动C向左移动D向右移动3已知三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）AB4CD4圆上的一点到直线的最大距离为（ ）ABCD5若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）ABCD7设，则使函数的定义域是，且为偶函数的所有的值是（ ）A0，2B0，-2CD28为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度9已知函数
3、在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD10在中，为的三等分点，则( )ABCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11等比数列满足其公比_12若则 _13若（），则_（结果用反三角函数值表示）14如图，在水平放置的边长为1的正方形中随机撤1000粒豆子，有400粒落到心形阴影部分上，据此估计心形阴影部分的面积为_.15在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ 16在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则_；_.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知数列满足若数列满足：（1）求数
4、列的通项公式；（2）求证：是等差数列.18在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，又点，.（1）若，且，求向量；（2）若向量与向量共线，常数，求的值域.19如图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线l与、都垂直，垂足分别是点A、点B和点C（高速线右侧边缘），直线与、与的距离分别为1米、2千米，点M和点N分别在直线和上，满足，记.（1）若，求AM的长度；（2）记的面积为，求的表达式，并问为何值时，有最小值，并求出最小值；（3）求的取值范围.20已知A，B，C是的内角，a，b，c分别是其对边长，向量，且.(1)求角的大小；(2)若，求的面积.21（1）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记
5、为，求为整数的概率？（2）两人相约在7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟方可离去试求这两人能会面的概率？参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】利用直线的斜率公式，求出当直线经过点时，直线经过点时的斜率，即可得到结论.【详解】设要求直线的斜率为，当直线经过点时，斜率为，当直线经过点时，斜率为，故所求直线的斜率为.故选：A.【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题2、B【解析】直接利用三角函数图象的平移变换法则,对选项中的变换逐一判断即可.【详解】函数的图象，向左平移个单位，得，错；函数的图象
6、,向右平移个单位，得，对.函数的图象,向左平移个单位，得，错；函数的图象,向右平移个单位，得，错,故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.3、B【解析】依据题中数据，利用勾股定理可判断出从而可得三棱锥各面都为直角三角形，进而可知外接圆的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积【详解】如图，因为 , 又，,从而可得三棱锥各面都为直角三角形，CD是三棱锥的外接球的直径，在中，, 即 ，故选B【点睛】本题主要考查学生空间想象以及数学建模能力，能够依据条件建立合适的模型
7、是解题的关键4、D【解析】先求出圆心到直线距离，再加上圆的半径，就是圆上一点到直线的最大距离【详解】圆心（2,1）到直线的距离是，所以圆上一点到直线的最大距离为，故选D【点睛】本题主要考查圆上一点到直线距离最值的求法，以及点到直线的距离公式5、A【解析】由圆心位置确定，的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果.【详解】因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第一象限.【点睛】本题主要考查一次函数的图像，属于基础题型.6、A【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.【详解】设5
8、人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，依题意可得，解得，.故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.7、D【解析】根据幂函数的性质，结合题中条件，即可得出结果.【详解】若函数的定义域是，则；又函数为偶函数，所以只能使偶数；因为，所以能取的值为2.故选D【点睛】本题主要考查幂函数性质的应用，熟记幂函数的性质即可，属于常考题型.8、B【解析】由三角函数的诱导公式可得，再结合三角函数图像的平移变换即可得解.【详解】解：由，即为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，故选：B.【点睛】本题考查了三角函
9、数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.9、C【解析】根据复合函数单调性，结合对数型函数的定义域列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由于的底数为，而函数在上是减函数，根据复合函数单调性同增异减可知，结合对数型函数的定义域得，解得.故选：C【点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数单调性求参数的取值范围，属于基础题.10、B【解析】试题分析：因为，所以，以点为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，设，又为的三等分点所以，所以，故选B.考点：平面向量的数量积.【一题多解】若，则，即有，为边的三等分点，则,故选B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】观察式子，将
10、两式相除即可得到答案.【详解】根据题意，可知，于是.【点睛】本题主要考查等比数列公比的相关计算，难度很小.12、【解析】因为,所以=.故填13、【解析】根据反三角函数以及的取值范围，求得的值.【详解】由于，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查已知三角函数值求角，考查反三角函数，属于基础题.14、0.4【解析】根据几何概型的计算，反求阴影部分的面积即可.【详解】设阴影部分的面积为，根据几何概型的概率计算公式：，解得.故答案为：.【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式，属基础题.15、2【解析】试题分析：由题意可得：考点：扇形的面积公式16、 【解析】根据三角函数的定义直接求得的值，即可得
11、答案.【详解】角终边过点，.故答案为：；.【点睛】本题考查三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1) (1)证明见解析【解析】数列满足，变形为，利用等比数列的通项公式即可得出数列满足：，时，可得，化为：，可得：，相减化简即可证明【详解】（1）数列满足，数列是等比数列，首项为1，公比为1，证明：数列满足：，时，解得时，可得，化为：，可得：，相减可得：，化为：，是等差数列【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的定义通项公式、指数运算性质、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18、（1）
12、或；（2）当时的值域为.时的值域为.【解析】分析：（1）由已知表示出向量，再根据，且，建立方程组求出，即可求得向量； （2）由已知表示出向量，结合向量与向量共线，常数，建立的表达式，代入 ，对分类讨论，综合三角函数和二次函数的图象与性质，即可求出值域.详解：（1），且，解得，时，；时，.向量或.（2），向量与向量共线，常数， .当即时，当时，取得最大值，时，取得最小值，此时函数的值域为.当即时，当时，取得最大值，时，取得最小值，此时函数的值域为.综上所述，当时的值域为.时的值域为.点睛：本题考查了向量的坐标运算、向量垂直和共线的定理、模的计算、三角函数的值域等问题，考查了分类讨论方法、推理与计
13、算能力.19、（1）；（2），当时，；（3）.【解析】（1），由即可得解；（2）用含有的式子表示出和，得出，根据的范围得出的最小值；（3）用含有的式子表示出，利用三角恒等变换和正弦函数的值域得出答案.【详解】（1）由题意可知:，即，所以；（2），时，取得最大值1，；（3），由题意可知，令，.【点睛】本题考查三角函数的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，考查对基本知识的掌握，考查分析能力，属于中档题.20、 ()；()【解析】(1)先由，结合正弦定理，得到，再由，即可求出结果；（2）由余弦定理得到，进而可求出三角形的面积.【详解】解: (1);(2)在中，由余弦定理知【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.21、（1）；（2）【解析】（1）分别求出基本事件总数及为整数的事件数，再由古典概型概率公式求解； （2）建立坐标系，找出会面的区域，用会面的区域面积比总区域面积得答案【详解】（1）所有的基本事件共有43=12个，记事件A=为整数，因为，则事件A包含的基本事件共有2个，p（A）=；（2）以x、y分别表示两人到达时刻，则两人能会面的充要条件是建立直角坐标系如下图：P=这两人能会面的概率为【点睛】本题考查古典概型与几何概型概率的求法，考查数学转化思想方法，是基础题
