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1、湖北省武汉市新洲三中2023-2024学年高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1一个圆柱的底面直径与高都等于球的直径，设圆柱的侧面积为，球的表面积为，则( )ABCD12如果直线l过点（2，1），且在y轴上
2、的截距的取值范围为（1，2），那么l的斜率k的取值范围是（ ）A（，1）B（1，1）C（，）（1，+）D（，1）（1，+）3曲线与过原点的直线没有交点，则的倾斜角的取值范围是（ ）ABCD4已知随机事件和互斥，且,.则（ ）ABCD5一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（ ）ABCD6在中，角的对边分别为，若，则（ ）ABCD7如图，在三角形中，点是边上靠近的三等分点，则( )ABCD8设不等式组所表示的平面区域为，在内任取一点，的概率是（ ）ABCD9圆与圆的位置关系是（ ）A相离B相交C相切D内含10已知，且，则在方向上的投影为( )ABCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分
3、，共30分。11已知圆及点，若满足：存在圆C上的两点P和Q，使得，则实数m的取值范围是_.12在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于A，B两点若，则该双曲线的渐近线方程为_.13已知三棱锥外接球的表面积为，面，则该三棱锥体积的最大值为_。14已知函数f(x)的图象恒过定点P，则点P的坐标是 _.15体积为8的一个正方体，其全面积与球的表面积相等，则球的体积等于_.16已知，是夹角为的两个单位向量，向量，若，则实数的值为_.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1)已知，且为第三象限角，求的值 (2)已知，计算 的值.18如图
4、所示，在梯形中， 平面，（1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离19已知函数（1）求函数的反函数；（2）解方程：.20已知是等差数列，满足，且数列的前n项和.（1）求数列和的通项公式；（2）令，数列的前n项和为，求证:.21设函数.（1）若，解不等式；（2）若对一切实数，恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】由圆柱的侧面积及球的表面积公式求解即可.【详解】解：设圆柱的底面半径为，则，则圆柱的侧面积为，球的表面积为，则， 故选：D.【点睛】本题考查了圆柱的侧面积的求法，重点考查了
5、球的表面积公式，属基础题.2、A【解析】利用直线的斜率公式，求出当直线经过点时，直线经过点时的斜率，即可得到结论.【详解】设要求直线的斜率为，当直线经过点时，斜率为，当直线经过点时，斜率为，故所求直线的斜率为.故选：A.【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题3、A【解析】作出曲线的图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线在绕着原点旋转时，直线与曲线没有交点时，直线的倾斜角的变化，由此得出的取值范围.【详解】当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为.作出曲线的图象如下图
6、所示：由图象可知，要使得过原点的直线与曲线没有交点，则直线的倾斜角的取值范围是，故选：A.【点睛】本题考查直线倾斜角的取值范围，考查数形结合思想，解题的关键就是作出图形，利用数形结合思想进行求解，属于中等题.4、D【解析】根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果.【详解】与互斥 本题正确选项：【点睛】本题考查概率中的互斥事件、对立事件概率公式的应用，属于基础题.5、A【解析】数形结合，还原出该几何体的直观图，计算出各面的面积，可得结果.【详解】如图为等腰直角三角形，平面根据三视图，可知点到的距离为点到的距离为所以，故该棱锥的全面积为故选：A【点睛】本题考查三视图还原，并求表面
7、积，难点在于还原几何体，对于一些常见的几何体要熟悉其三视图，对解题有很大帮助，属中档题.6、B【解析】由正弦定理可得，化简后求出，然后求出即可【详解】，故选：【点睛】本题考查了正弦定理和同角三角函数的基本关系，属于基础题7、A【解析】利用向量的三角形法则以及线性运算法则进行运算,即可得出结论.【详解】因为点是边上靠近的三等分点,所以,所以,故选:A.【点睛】本题考查向量的加减法以及数乘运算,需要学生熟练掌握三角形法则和共线定理.8、A【解析】 作出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 四边形所示，作出直线，由几何概型的概率计算公式知的概率，故选A.9、B【解析】计算圆心距，判断与半径和差的关系
8、得到位置关系.【详解】圆心距 相交故答案选B【点睛】本题考查了两圆的位置关系，判断圆心距与半径和差的关系是解题的关键.10、C【解析】通过数量积计算出夹角，然后可得到投影.【详解】，即，在方向上的投影为，故选C.【点睛】本题主要考查向量的几何背景，建立数量积方程是解题的关键，难度不大.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】设出点P、Q的坐标，利用平面向量的坐标运算以及两圆相交的条件求出实数m的取值范围.【详解】设点，由得，由点在圆上，得，又在圆上，与有交点，则，解得 故实数m的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标运算、利用圆与圆的位置关系求参数的取值范围
9、，属于中档题.12、【解析】根据题意到，联立方程得到，得到答案.【详解】，故.，故，故，故.故双曲线渐近线方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.13、【解析】根据球的表面积计算出球的半径.利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，根据正弦定理求得的长，再根据圆内三角形面积的最大值求得三角形面积的最大值，由此求得三棱锥体积的最大值.【详解】画出图像如下图所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.设球的半径为，三角形外接圆的半径为，则，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形为等边三角形，其高为.由于为定值，而三角形的高等于时，三角
10、形的面积取得最大值，由于为定值，故三棱锥的体积最大值为.【点睛】本小题主要考查外接球有关计算，考查三棱锥体积的最大值的计算，属于中档题.14、（2,4）【解析】令x-1=1,得到x=2,把x=2代入函数求出定点的纵坐标得解.【详解】令x-1=1,得到x=2,把x=2代入函数得，所以定点P的坐标为（2,4）.故答案为：（2,4）【点睛】本题主要考查对数函数的定点问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15、【解析】由体积为的一个正方体，棱长为，全面积为，则，球的体积为，故答案为.考点：正方体与球的表面积及体积的算法.16、【解析】由题意得，且，由=，解得即可.【详解】已知，是夹角为
11、的两个单位向量，所以，得，若解得故答案为【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质，考查了计算能力，属于基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）由，结合为第三象限角，即可得解；（2）由，代入求解即可.【详解】（1）,又是第三象限.（2）.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题.18、（1）见解析（2）【解析】（1）通过，来证明；（2）根据等体积法求解.【详解】（1）证明：平面，平面， . 又， ，平面，平面，平面. （2）由已知得，所以 且由（1）可知，由勾股定理得 平面=， 且 ，由， 得 即点到平
12、面的距离为【点睛】本题考查线面垂直与点到平面的距离. 线面垂直的证明要转化为线线垂直；点到平面的距离常规方法是作出垂线段求解，此题根据等体积法能简化计算.19、（1）；（2）【解析】（1）反解，然后交换的位置，写出原函数的值域即可得到结果；（2）代入原函数与反函数的解析式，解方程即可得到答案.【详解】（1）由得，得，因为，所以，所以.（2）由得2，所以，即，解得，所以 ，所以原方程的解集为.【点睛】本题考查了求反函数的解析式，考查了指数式与对数式的互化，属于中档题.20、（1），（2）证明见解析【解析】（1）计算，得到，再计算的通项公式得到答案.（2），利用裂项求和得到得到证明.【详解】（1），.，.是等差数列，所以，所以.当时，又，所以，当时，符合，所以的通项公式是.（2）.所以，即.【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.21、（1）或；（2）【解析】（1）时，不等式化为，求解即可；（2）分和两种情况分类讨论，并结合二次函数的性质，可求出答案.【详解】（1）时，不等式化为，即，解得或，即解集为：或.（2）当时，符合题意，当时，由题意得，解得，综上所述，实数的取值范围是：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查一元二次不等式的解法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
