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1、2012年“华约”高水平大学自主选拔学业能力测试数学部分注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）在锐角中，已知,则的取值范围为（ ）(A) (B) (C) (D) 解：由于因为是锐角三角形所以。选A.（2）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ）(A) 36种 (B) 60种 (
2、C) 90种 (D)120种解：从6个位置中，先给两个車选位置，有种方法，由于总是红棋子在前，蓝棋子在后，所以只有一种排法，因此車总共有种排法；继续排马，有种，剩下两个位置自然是炮，因此总共有90种排法，选C。（3）正四棱锥中，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成二面角为，侧棱与底面正方形的对角线所成角为，相邻两侧面所成二面角为， 则之间的大小关系是（B ） (A) (B) (C) (D) 解：设正四棱锥的高是可求因为所以，下面求，过作于，连接，由对称性，可知，所以为二面角的平面角，可以计算出，所以为钝角.选B.（4）向量，。若，则（ ）(A) (B) (C) (D) 解析：由于，那么，即 ，从
3、而有即，因此，得到，即。因此有，从而。选C（5）若复数的实部为0，是复平面上对应的点，则点的轨迹是( )(A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧解：设，解得，因此的轨迹是一条直线。（6）椭圆长轴长为4，左顶点在圆上，左准线为轴，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） (A) (B) (C) (D) 解：令 其实部为0，所以2x-1=0(yR),这就是所求轨迹的实方程，是一条平行纵轴的直线。（7）已知三棱锥的底面为正三角形，点在侧面上的射影是的垂心，二面角为30，且，则此三棱锥的体积为（ ）(A) (B) (C) (D) （8）如图，在锐角中，边上的高与边上的高交于点。以为直
4、径作圆与的另一个交点为。已知，则的长为（ ）(A) (B) (C)10 (D) 解答:连接DF，则有DF垂直AC,由已知条件有cosB=,cosC=,所以sinB=,sinC=，于是sinA=sin(B-C)=sinBcosC+sinccosB=sinB.因此A=B,即ABC为等腰三角形，于是由CD垂直可得AC=25,AD=DB=15,AE=AC-CE=25-7=18.又因为CDB=CEB=，所以B,C,D，E四点共圆，ABC=BAE,因此ADE为等腰三角形，所以，DF 垂直AC知，AF=FE=9（9）已知数列的通项公式为，。是数列的前项和。则（ ）(A) 0 (B) (C) (D) 解：（1
5、0）已知，当取得最大值时，在 这十个数中等于的数共有（ ）(A) 1个 (B) 2个 (C)3个 (D) 4个解：首先要求平方和最大，- 6 10, 我们希望有较多的10，但是10的个数不能太多，如果有7 个10，那么和为70，这样剩余的三个数最多能加到-18，不能满足和为50，但如果有6个10，剩余4个数做和可以等于-10，从而满足做和为50，这样，我们得到应该有6个10，另一方面，剩余4个数字做和为-10，可取3个- 6，1个8，不难验证，这种组合平方和最大。选C.二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（11）(本小题满分14分)在中，的对边分别为。已知（1）求的大小（2）若
6、，求的值.解：（1）（2）（12）(本小题满分14分)已知两点，动点在轴上的射影是，且 求动点的轨迹的方程 已知过点的直线交曲线于轴下方不同的两点，设的中点为，过于点作直线，求直线斜率的取值范围。解：设P(x,y),则H(0，y),由（1） 令CD:代入，整理得因为直线在x轴下方交P点轨迹于C()，D()两点所以上式有两个负根，由根据韦达定理，得CD中点M的坐标为代入直线MQ的方程y+2=kx,(k为其斜率)得所以，k=,(1.（13）(本小题满分14分)系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作。系统正常工作的概率称
7、为系统的可靠性。（1） 某系统配置有个元件，为正整数，求该系统正常工作概率的表达式（2） 现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性。解答：显然,注意到，所以= =因此，当p时，递增，当P时，递减。(14) (本小题满分14分)记函数证明：当是偶数时，方程没有实根；当是奇数时，方程有唯一的实根，且。证明一：用数学归纳法证明有唯一解且严格单调递增，无实数解，显然n=1时，此时有唯一解，且严格单调递增，而无实数解，现在假设有唯一解且严格单调递增，无实数解，于是注意到时，对任意的0kn有x+2k+10, 于是，所以又因为所以由严格递增知有唯一根0，对于有，
8、所以（，）上，递减，在（，+）上，递增，所以因此，无实数解综上所述，对任意正整数n,当为偶数时无解，当为奇数有唯一解。再证，事实上，由的严格单调性，只需验证，注意到，由上述归纳法证明过程中，所以，因此，综上所述，原命题得证。证明二记我们对使用数学归纳法证明加强命题，方程在为偶数的时候实数上恒大于零，在为奇数的时候，在实数上严格单调递增并且可以取遍所有实数。（） 当,的时候，直接验证，结论显然成立。（） 当=的时候结论成立，那么，=的时候：是偶数的时候，那么由归纳假设，我们知道存在一个的根，使得在的时候，在的时候，所以可以看出在实数上的最小值应该在处取到，也就是说在实数上每个取值都大于零，因此结
9、论成立。是奇数时，那么由归纳假设，我们知道恒成立，也就是说严格单调递增，而是一个奇数次最高项系数大于零的一个多项式，因此，可以知道当X趋近于的时候，也趋于，当X趋于+的时候，也趋于+，而连续，因此我们证明了在实数上严格单调递增并且可以取遍所有的实数（这点如果不用 极限的符号书写法也可以将分段说明，但写起来比较麻烦）(15) (本小题满分14分)某乒乓球培训班共有位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛。试确定的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。解答：假设比赛了K场，那么由题目假设，一场比赛出现了2对队友，所以=2k，也就是说4k=n(n-1)，那么得
10、到n=4l或者4l+1,期中lN，下边证明，对于任意的n=4l，或者4l+1,其中lN,都可以构造出满足要求的比赛：n=4l+1,的时候，对于L使用数学归纳法：（1） 当L=1的时候，N=5，此时假设这5名选手为A,B,C,D,E,那么如下安排比赛即可，AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD-CE.（2） 设当L=M的时候结论成立那么，L=M+1的时候，假设4M+5选手为A,B,C,D,E，由归纳假设，可以安排E,之间的比赛，使得他们之间每两位选手的作为队友恰好只参加过一次比赛，还剩下A,B,C,D，E,相互的比赛和A,B,C,D与之间的比赛，A,B,C，D与之间的比赛安排如下：A与B,A与B,C与D,C与D,这样即满足要求。最后将这些比赛总计起来，就是满足要求的4M+5位选手之间的的比赛了。由数学归纳法，结论得到了证明，N=4L的候，对L 的使用数学归纳法，与上边几乎类似的也可以证明结论。综上所述，N的所有可能取值是N=4L或者4L+1，其中LN.
