第二节 极限的概念极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术（参看光盘演示）, 就是极限思想在几何学上的应用. 又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄子.天下篇》一书中对“截丈问题”（参看光盘演示）有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想. 极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法. 本节将首先给出数列极限的定义.分布图示★ 极限概念的引入★ 数列极限的定性描述 ★ 例1★ 数列极限的定量描述 ★ 例2 ★ 例3★ 数列极限隐含的辩证思想★ 函数极限的引入★ 自变量趋向无穷大时函数的极限 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 自变量趋向有限值时函数的极限 ★ 例7★ 函数的左极限与右极限 ★ 例8 ★ 例9 ★ 函数极限的定量描述 ★ 极限的性质 ★ 内容小结 ★ 课堂练习内容要点 一、数列的极限：论证法，其论证步骤为：(1) 任意给定的正数, 令 ；(2) 上式开始分析倒推, 推出 ；(3) 取，再用语言顺述结论.二、函数的极限：自变量趋向无穷大时函数的极限；自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质：唯一性 有界性 保号性例题选讲数列的极限例1 (E01) 下列个数列是否收敛, 若收敛, 试指出其收敛于何值.(1) (2) (3) (4)解 (1) 数列即为易见, 当无限增大时, 也无限增大, 故该数列是发散的;(2) 数列即为易见, 当无限增大时, 无限接近于0, 故该数列收敛于0;(3) 数列即为易见, 当无限增大时, 无休止地反复取两个数, 而不会无限接近于任何一个确定的常数, 故该数列是发散的;(4) 数列即为易见, 当无限增大时, 无限接近于1, 故该数列收敛于1.例2 (E02) 证明 证 由 故对任给要使只要即 所以，若取则当时，就有 即例3 用数列极限定义证明 .证 由于 故要使 只要 解得 因此，对任给的 取 则时, 成立, 即函数的极限例4(E03) 求极限解 因为当的绝对值无限增大时, 无限接近于0, 即函数无限接近于常数1, 所以例5 讨论极限解 观察函数的图形(见系统演示)易知: 当自变量的绝对值无限增大时, 对应的函数值在区间上振荡, 不能无限接近于任何常数.所以极限不存在.例6(E04) 讨论极限 及解 观察函数的图形(见图1-2-2)易知：当时，曲线无限接近于直线即对应的函数值无限接近于常数当时，对应的函数值无限接近于所以极限由于所以极限不存在.例7(E05) 试根据定义说明下列结论：(1) ; (2) (为常数).解 (1) 当自变量趋于时，显然，函数也趋于，故.(2) 当自变量趋于时，函数始终取相同的值故.例8(E06) 设 求 .解 因为即有 所以不存在(见图1-2-5).例9 设 求 解 是函数的分段点，如下图(见系统演示).两个单侧极限为 左右极限存在且相等, 故课堂练习1. 判别下列极限是否存在，如果存在，求出其值.(1) ; (2) ; (3) . 2. 若且问：能否保证有的结论？试举例说明.。