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1、算数平均数和几何平均数各位评委：大家好！我今天说课的题目是算术平均数与几何 平均数，下面我就本堂课的教学内容、教学目标及教学设计等方 面分别展开作一下介绍。一、教学内容引入：1、不等式这一章主要研究数的不等关系，是高中数学 学习过程中的一个重要组成部分，也是高考重点考查的内 容，同时也是将来进一步学习数学所需要的基础知识。2、本节教学内容包括两个正数的算术平均数与几何平均数 的定理及其证明，以及该定理在解决数学问题和实际问题 中的应用。重点是对定理证明、理解及应用；难点是定理 的应用。3、问题情景：用篱笆围一块面积为50 m洛勺一边靠墙的矩 形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少时，所用篱笆最省？
2、此时，篱笆墙长为多少米？问题解析：这是一个实际问题，如何把它转化成为一个数学问题？学生回答：设篱笆墙长为y，则5。（ Q0），问题转化成为求函数y的最小值及取得最值时的x的值。求这个函数的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理 来求此函数的最小值？学生回答：利用函数的单调性或判别式法，也可用平均值定理.设计目的：从学生熟悉的实际问题出发，激发学生应用数学 知识解决问题的兴趣，通过设问，引导和启发学生用所学的平均 值定理解决有关实际问题，引入课题。二、教学内容展开：1、定理的引入：由上面的问题解析，我们现引入不等式：a2+b22ab2、定理的证明：先让学生回答证明过程。证明（1）：（、/a）2+（
3、）2 2%福，. a + b 2 Jab艮P a + （ab2显然，当且仅当a = b时,ab =.02说明：1、我们称牛为a,b的算术平均数，称向为a,b的几何平均 数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它 们的几何平均数。2、a2 +伞2ab和兽八疝成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。证明（2）：均值定理的几何意义是“半径不B小于半弦”，以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C,使 AC=a,CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DD，那么cd2 = CA cb， 即 CD =xob这个圆的半径为 m，显然，它不小于CD，即aL ,
4、0，22其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立.3、定理的应用例1已知x,y都是正数，求证：（1）如果积xy是定值P那么 当x=y时，和x+y有最小值2、P；（2）如果和x+y是定值S,那么当 x=y时，积xy有最大值1 s 24 .说明：1、正数积定和最小，和定积最大。2、利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数；（2）函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；（3）等号成立条件必须存在例2、讲解本章引言提出的问题：某工厂要建造一个长方体 无盖蓄水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价 为150元，池壁每1m2的造价为720元，问怎样设计水池能使总 造价最低，最低造价是多少元？三、课堂练习：1、已知乂、y都是正数，求证：（1） 2 + 三 N2；（2） （x + y） （x2 + y2）（X3 + y3）N8x3y3尤 2(3)求函数 =(30 )的最小值，并求相应的x的值。四、课堂内容小结：在本节课中，我们学习了两正数a、b的算术平均数B，几 2何平均数冬b及它们的关系 Q N.、a，该关系式又称均值不 2等式，它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具。希望大家能够熟练的掌握并应用这一重要不等式。这节课到此结束，谢谢大家！
