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1、三角恒等变换章末总结08.10.10一、教学目的：对第三章“三角恒等变换”进行章末知识总结，对重点、热点题型进行归纳总结。二. 重点、难点： 公式的灵活应用三、知识分析： 1、 本章网络结构 2、要点概述 （1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。 （2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如是的半角，是的倍角等。（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。（4）求值的类型：“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特
2、殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。（5）灵活运用角和公式的变形，如：，等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。（6）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角
3、函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。（7）证明三角恒等式时，所用方法较多，一般有以下几种证明方法：从一边到另一边，两边等于同一个式子，作差法。 3、题型归纳（1）求值题 例1. 已知，且，求。分析：由已知条件求，应注意到角之间的关系，可应用两角差的余弦公式求得。解：由已知，得又由，得又由，得 点评：三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键； 常见角的变换：，等。（2）化简题 例2. 化简：，其中。分析：式中有单角与半角，可用倍角公式把化为。解：原式原式（3）证明题 例3. 求证：分析1：从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，逐步化成左
4、边。证法1：右边原命题成立分析2：由配方，得。将左边约分，达到化简的目的。证法2：左边原命题成立分析3：代数证明中的作差法也适用于三角证明。证明3：左右 左右原式成立（4）与向量、三角形等有关的综合题 例4. 平面直角坐标系内有点。（1）求向量与的夹角的余弦；（2）求的最值。解析：（1）（2）又，即【模拟试题】一. 选择题（每小题4分，共48分） 1. 的值为（ ）A. B. C. D. 2. 可化为（ ）A. B. C. D. 3. 若，且，则的值是（ ）A. B. C. D. 4. 函数的周期为T，最大值为A，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D.
5、 6. 已知，则（ ）A. B. C. D. 7. 设，则（ ）A. 4B. C. D. 8. 的值是（ ）A. B. C. D. 9. 在ABC中，若，则ABC的形状一定是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形 10. 要使斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（ ）A. 30B. 45C. 60D. 正弦值为的锐角 11. 已知向量，向量，向量，则向量与的夹角范围为（ ）A. B. C. D. 12. 已知：，则的值为（ ）A. B. 4C. D. 1二. 填空题（每小题3分，共12分） 13. 已知，则_。 14. 函数的最小正周期为_。15.
6、 已知，且满足关系式，则_。16. 已知。若，则可化简为_。三. 解答题（每小题10分，共40分） 17. 求值： 18. 已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x的集合；（3）求函数的单调区间，并指出在每一个区间上函数的单调性。 19. 若已知，求的值。 20. 已知、为锐角，且。求证：参考答案一. 选择题： 1. D2. A3. B4. D5. C6. D 7. D8. C9. A10. B11. D12. C二. 填空题： 13. 14. 15. 16. 三. 解答题： 17. 解：原式 18. 解： （1）（2）当即时，当即时，（3）当即时，单调递增。当即时，单调递减。故的单调递增区间为 的单调递减区间为 19. 解法1：，则从而 故原式解法2：原式又即则故原式 20. 证法1：由已知、为锐角，证法2：由已知条件得：又、为锐角 ，即
