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1、兰州成功私立中学高中奥数辅导资料（内部资料）6二次函数(2)二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与x轴的交点)问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。 设f(x)=ax2+bx+c(a0)的二实根为x1,x2，(x1x2)，=b2-4ac，且、()是预先给定的两个实数。 1当两根都在区间(,)内，方程系数所满足的充要条件： x1x2，对应的二次函数f (x)的图象有下列两种情形(图1) 当a0时的充要条件是：0，-b/2a，f()0，f ()0 当a0时的充要条件是：0，-b/2a，f()0
2、，f ()0 两种情形合并后的充要条件是：0，-b/2a，af()0，af ()0 2当两根中有且仅有一根在区间（，）内，方程系数所满足的充要条件： x1或x2，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形（图2） 从四种情形得充要条件是： f ()f ()0 3当两根都不在区间，内方程系数所满足的充要条件： （1）两根分别在区间，之外的两旁时： x1x2，对应的函数f(x)的图象有下列两种情形（图3）： 当a0时的充要条件是：f ()0，f ()0 当a0时的充要条件是：f ()0，f ()0 两种情形合并后的充要条件是：af ()0，af ()0 （2）两根分别在区间，之外的同旁时： x1x2或
3、x1x2，对应函数f(x)的图象有下列四种情形（图4）： 当 x1x2时的充要条件是：0，-b/2a，af ()0 当x1x2时的充要条件是：0，-b/2a，af ()0 二次函数与二次不等式前面提到，一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。解不等式与证明不等式成立，经常要用到二次函数的极值性质、单调性、图象与x轴的位置关系等。例题讲解1. 已知方程x2+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，则P的取值为。2. 如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0的两个根一个小于零，另一个大于1，试确定m的范围。 3. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0).若方程f(x)
4、=x无实根，求证：方程ff(x)=x也无实根，4. 对二次函数f(x)= ax2+bx+c(a0)，求证，必存在x=M0，使f(M)均与a同号。5. 若a1,a2,an,b1,b2,bn都是实数，求证：（a1b1+a2b2+anbn）2(a12+a22+a2n)(b12+b22+b2n)6设二次函数f(x)= ax2+bx+c(a0)，方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0x1x21/a。 （1）当x(0,x1)时，证明xf(x)x1 （2）设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x0x1/2。7当K为什么实数时，关于X的二次方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根
5、和分别满足01和12？ 8函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在-3,3上的最小值是。 课后练习1f(x)是定义在全体实数上的偶函数，它的图象关于x=2为轴对称，已知当x(-2,2时f(x)的表达式为-x2+1，则当x(-6,-2)时，f(x)的表达式是：(A)-x2+1，（B）-(x-2)2+1，(C)-(x+2)2+1，（D）-(x+4)2+1。（） 2已知x2-4x+b=0的一个根的相反数为x24x-b=0的根，则x2+bx-4=0的正根为。 3 已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb且f(-1)=-2，又f(x)2x对一切xR都成立，求a+b=? 4设0,，关于x
6、的方程x2-2xcos+1=0有实根，则4x2+13x+23=。 5已知方程ax2+bx+c=0(a0)有实根x1与x2，设P=x12002+x22002,q=x12001+x22001,r=x12000+x22000则ap+bq+cr= 。 6若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(x+2)=f(2-x)，那么f(0),f(-2002),f(2002)的大小关系是（A）f(0)f(2002)f(-2002)，(B)f(2002)f(0)f(-2002)，(C)f(-2002)f(0)f(2002)，(D)f(-2002)f(2002)f(0) 7若sin2x+cosx+a=0有实
7、根，试确定实数a的取值范围是什么？ 8已知x,y都是实数，C=x2+y2-xy-x+y，则C的最小值等于。 9代数式2x2+2xy+2y2+2x+4y+5的最小值为：（A）0（B）5（C）9/2（D）3 10函数f(x)=x4-2x2+2的单调增区间是：（A）1,+)，（B）(-,-1)1,+)，(C)-1,01,+)，(D)以上都不对 11若二次函数f(x)=ax2+bx，有f(x1)=f(x2)(x1x2)则f(x1+x2)= 。 12给定函数f(x)=x2+ax+b设P，q是满足P+q=1的实数，证明，若对于任意的实数x,y，均有：pf(x)+qf(y)f(px+qy)，则0p1 课后练
8、习答案1（D）；2.2；3.110；4.40；5.0；6.(D)；7.-5/4,1；8.-1/3；9.(D)；10.(D)；11.0；12.(略)。 例题答案：1解：记f(x)=x2+2px+1，则f(x)r的图象开口向上，当f(x)与x轴的两交点一个在（1,0）左方，另一个在（1,0）右方时，必有f(1)0，即：12+2P10，即P1 所以P的取值为（，1） 2解：令f(x)=(1-m2)x2+2mx-1，根据题设条件，f(x)的图形是下列两种情形之一（图5）： 得充要条件：（1-m2）f(0)0,(1-m2)f(1)0；即1-m20,(1-m2)(2m-m2)0 解得：-1m0 3证明：已
9、知f(x)=ax2+bx+c(a0) 方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0无实根，f(x)-x仍是二次函数，f(x)-x=0仍是二次方程，它无实根即=(b-1)2-4ac0 若a0，则函数y=f(x)-x的图象在x轴上方， y0，即f(x)-x0恒成立，即：f(x)x对任意实数x恒成立。 对f(x)， 有f(f(x)f(x)x恒成立 f(f(x)=x无实根 若a0，函数y=f(x)-x的图象在x轴下方 y0，即f(x)-x0恒成立 对任意实数x，f(x) 0恒成立 对实数f(x)，有：f(f(x)f(x)x恒成立 f(f(x)=x无实根 综上可知，当f(x)=x无实根时
10、，方程f(f(x)=x也无实根 4分析：这是一道证明题。从图象上看，当a0时，抛物线开口向上，f(x)0的解集要么为全体实数集合R（0)；要么为（-,x0）(x0,+ )(=0,f(x0)=0)，要么为（-,x1）(x2,+) (0,f(x1)=f(x2)=0)，故总可以找到M0，MR，或M（-,x0）(x0,+)，或M（-,x1）(x2,+)，使f(M)0，因此af(M)0，对于a0的情形，也是如此，只不过f(M)0，从代数的角度看问题，af(x)0即a2x2+abx+ac0它有解且解集合中包含着x=M与x=-M（M0）一对相反数，因此，需考虑所对应的二次方程的判别式。 证明：f(x)= a
11、x2+bx+c(a0) af(x)= a2x2+abx+ac=1/44a2x2+4abx+4ac=1/4(2ax+b)2-1/4(b2-4ac) af(x)0即:1/4(2ax+b)2-1/4(b2-4ac)0 亦即(2ax+b)2-(b2-4ac)0 （1）当=b2-4ac0时，af(x)0的解集为(-,+) （2）当=b2-4ac=0时，af(x)0的解集为(-,-b/2a)（-b/2a,+) （3）当=b2-4ac0时，方程af(x)=0有两个不等的实数根x1,x2(x1x2)，相应的不等式af(x)0的解集合为：（-,x1）(x2,+) 因为三种情况下的解集合均为无穷区间，故均存在-M
12、与M同属于解集合，使af(M)0，从而a与f(M)同号。 5证明：构造二次函数 f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+(anx-bn)2=(a12+a22+a2n)x2-2(a1b1+a2b2+anbn)x+(b12+b22+b2n) 当a12+a22+a2n0即a1,a2,an不全为零时，显然有对xR，f(x)0，故f(x)0的判别式：=4（a1b1+a2b2+anbn）2-4(a12+a22+a2n)(b12+b22+b2n)0 即（a1b1+a2b2+anbn）2(a12+a22+a2n)(b12+b22+b2n) 当a1=a2=an=0时，结论显然成立，故命题成立。 评注本
13、例中的不等式即是著名的柯西不等式，有时它也写作。等号当且仅当a1/b1=a2/b2=an/bn时成立。 6分析该题是一九九七年全国普通高考理工类数学第24题，它综合考查二次函数、二次方程和不等式的基础知识，以及灵活运用数学知识和方法分析、解决问题的能力，当年没有几个考生能完整解答此题。可以从代数与几何两个角度展开思考： 从代数角度看，f(x)是二次函数，从而方程f(x)-x=0即ax2+(b-1)x+c=0(a0)是二次方程，由于x1,x2是它的两个根，且方程中x2的系数是a，因此有表达式：f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)进而，利用二次函数的性质和题设条件，可得第（1）问的证明。 从几何角度看，抛物线y=f(x)-x开口向上，因此在区间x1,x2的外部，f(x)-x0，（1）的左端得证。其次，抛物线y=f(x)的开口也向上，又x1=f(x1)，于是为了证得（1）的右端，相当于要求证明函数f(x)在区间0,x1的最大值是f(x1)，这相当于证明f(0)f(x1)，也即Cx1，利用韦达定理和题设，立即可得。 至于（）的证明，应用配方法可得x0=-b/2a，进而利用韦达定理与题设，即得证明。 证明：欲证：xf(x)x
