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1、量子力学复习讲义一波函数一、波函数的意义及性质在量子力学理论体系中，体系的状态用波函数来描述，一般记为，其物理意义是玻恩的几率解释：在时刻，在附近体积元内发现粒子（体系）的几率为。对波函数，要认识一下几个问题：1、关于波函数的归一化问题（1）几率描述中实质问题是相对几率，即要求任意两点的几率比值相同即可，因此和描述的是同一个几率波。这导致波函数总有一个不确定的常数因子。（2）根据（1），我们一般要求波函数归一化，即选择常数，使 不过这样选择的常数，还有一个不确定的相因子，我们把满足这个条件的常数，叫归一化常数。（3）由于我们关注的是相对几率，因此在某些情形下，我们也使用一些非归一化的波函数，如
2、自由粒子平面波函数 粒子的位置本征函数 2、波函数的标准化条件（1）既然波函数是几率波，因此要求波函数模方为有限，是必然的。即有限值。但实际上，只要波函数满足 有限就可以了。例如对粒子位置本征函数就是这样。而这种放宽的条件会导致波函数在某点的值变为无穷大。这也是允许的。（2）波函数的连续性要根据定态薛定谔方程来确定。因此，如果是的连续函数，则和必为的连续函数。 如果，其中是常数，且有限，则波函数及其一阶导数连续。证明：将薛定谔方程在邻域积分，得 所以，连续，从而也连续。 但是，当时，波函数的一阶导数就不一定连续了。如一维无限深势阱中的波函数的导数在边界就不连续。（3）波函数的几率解释要求必须为
3、单值得，但这不意味着波函数就一定是单值得。二、波函数的时间演化规律1、自由粒子的初值问题根据薛定谔方程，波函数随时间演化的规律为 由于方程只含有对时间的一阶导数，因此，只要给定了初始时刻体系的状态，则以后任意时刻的状态原则上就完全确定了。但在一般情况下，这个初值问题并不容易求解。只有自由粒子，其解比较容易。 描述自由粒子的一般状态的波函数，具有波包的形式，可以表示为平面波的叠加 式中，因此在时，有 所以 从而，得 这样体系的初始状态就完全确定了以后任何时刻的状态。更一般地，取初始时刻为，则 其中 这里称为传播子（，利用传播子，体系在时刻的状态可由的状态给出。传播子的物理意义为：如果在时刻粒子位
4、于点，则在时刻在点找到由（）传来的粒子的几率幅就是。而积分式表示在找到粒子的几率幅是时刻空间各点粒子的几率波幅传到点后的相干叠加。 三、一般波函数的叠加设体系的定态薛定谔方程为 假设体系无简并，则体系的含时波函数可以表示为 对任意的波函数，可以得到 两边乘以，并积分，得 如果初始时刻体系的状态已知为，则 利用薛定谔方程 ，得 所以有 ，这样我们有 其中展开系数由初始条件确定 举例1：（2005燕山大学入学试题，2006南开大学试题，2000中国科学院和科技大学试题）一个质量为的粒子在一维无限深势阱中运动，时刻的初态波函数为 求(1)在后来某一时刻的波函数是什么？ （2）体系在和时的平均能量是多
5、少？ （3）在时，在势阱左半部发现粒子的概率是多少？ 解：（1）首先将波函数归一化，因为 所以归一化常数为，即波函数是归一化的。这样我们得到 对任意时刻，波函数为 （2）粒子的平均能量为 （3）在时，在势阱左半部发现粒子的概率是 = 举例2、（1996大连理工试题）量子体系的薛定谔方程 （1）的一般解为 （2）其中代表变量的集合。 （1）试写出（2）式中的所必需满足的本征方程； （2）（2）式中的 （3）若体系的某一力学量,其算符满足 则（2）式中的可视为的共同本征函数，属于本征值。试确定在任一时刻取可能值的几率。 解：（1） （2） (3)在任一时刻体系的状态为，则 其中 这样取可能值的几率
6、为。 举例3、（2003河北师大试题）有一物理体系，它的态空间是三维的，选择基矢为。定义力学量 (均为实数)设时的状态为。求 （1）若在时测量体系能量，可得哪些结果，相应几率多大？计算。（2）若在时测量，可能值及相应几率多大？（3）写出任意时刻的态矢量。（4）计算。解：（1）因为，所以在时测量体系能量时，可能的结果和相应几率为 ，几率为 ，几率为（2）先求的本征值和本征矢，设，则久期方程为 即，解之得 当时，有 任意，这样我们可以选择得 当时，可得 从而这样在时，有 所以在时测量，可能的结果和相应几率为 几率为（3）利用定态薛定谔方程本征函数的展开式，得任意时刻体系的态矢量为 所以得 这是必然
7、的。 举例4、（2000北京师大试题）设时，质量为，频率为的谐振子处于 状态，其中是实常数，是厄米多项式，求 （1）归一化常数； （2）求时刻体系的状态； （3）求时刻位置平均值； （4）求谐振子能量取值及相应几率。解：（1）对谐振子，其哈密顿算符的本征函数为 所以，我们有 归一化条件,得 即归一化的波函数为 （2）由于体系是定态，所以任意时刻的波函数为 （3）时刻位置平均值 （4）任意时刻能量的可能取值和相应几率为 几率 几率举例5（1999中国科学研固体物理研究所试题）在时，氢原子的波函数 其中下标分别是量子数的值，忽略自旋和辐射跃迁。 （1）该体系的能量期待值为多少？ （2）在时刻体系处
8、在的态的几率为多少?解：（1）因为在任意时刻，体系的状态为 所以体系能量的期待值为 （2）在任意时刻，体系处在的态的几率为 举例6（南京大学1999试题）有一质量为的粒子处在长度为的一维无限深势阱中，。在时刻粒子的状态由波函数 描述，求 （1）归一化常数； （2）粒子能量的平均值； （3）时，粒子能量的几率分布； （4）任意时波函数的级数表述。解：（1）归一化常数为 （2）粒子能量的平均值为 或者（见第（3）题） (3)由于粒子的能量本征函数为 所以有 其中 所以粒子能量的几率分布为 相应几率为 (4)在任意时刻，有 举例7（1999南京大学试题）已知时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象
9、的表示式分别是 式中都是已知实常数。试求和时粒子坐标和动量的平均值 解：（1）在时，先求归一化常数， 同理 (2)对自由粒子，体系的哈密顿算符为 ，所以 从而 由第二式，得 因此 这里利用了算符不随时间变化的特点。 二定态薛定谔方程一、定态的概念所谓定态，是指体系的波函数可以表示为 的形式。可以证明，如果在初始时刻体系处于某一个能量的本征态，则有 实际上，如果在初始时刻体系处于非定态 其中满足定态薛定谔方程，则 这一点我们在第一讲中已经看到了。对定态有许多特殊的性质。主要有（1）粒子在空间的几率分布以及几率流密度都不随时间变化；（2）任何不显含时间的力学量的平均值不随时间改变。因为 （3）任何
10、不显含时间的力学量的测量几率分布也不随时间改变。设力学量不显含时间，其本征值方程为 则在定态下，有 其中 所以测量几率分布与时间无关。二、有关定态薛定谔方程的例题与定态有关的习题多数是求解定态薛定谔方程。下面举例说明。例1（河北师大2005年）、一粒子在二维势阱中运动，其势函数为 试求该体系的能级和相应本征函数，并讨论前五个能态的简并度。解：体系的能级为 相应的波函数为 以及 对基态，它是无简并的；对第一激发态，相应波函数为和，是二度简并的；对第二激发态，相应波函数为，是无简并的；对第三激发态，相应波函数为和，是二度简并的；对第四激发态，相应波函数为和，是二度简并的；例2(南开大学2004年)、粒子封闭在不可穿透壁围成的长宽高分别为的方箱子里，可以在里面自由运动。求粒子的本征函数和能量的可能值，并分析本征函数的简并性。解：粒子的本征函数为 相应的能量的可能取值或者说能级为 则本征函数的简并度为方程 的整数解（的个数。同样可以讨论的情形。例3（兰州大学2004年）、一个刚性转子，只能绕轴转动，其能量算符为 （为转角）（）求能级和能量本征函数（）时已知波函数为（已归一化），求及能量平均值。解：（）体系的定态薛定谔方程为 定轴转动，利用周期性条件，有 由于不能同时为零，因此 整数，因为为
