《16能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《16能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、#上页I下页I返回I#上页I下页I返回I(1)(0x0,0x/)w(xO)=(p(xXut(x0)=|/(x)u(0t)=u(l()=0设比为问题(1)，(2),(3)的解，用再从。到Z积分，得tuttdx-a1udx=0#上页I下页I返回Ituttdx-a2udx=0(4)0utuudx=uxdut由边界条件可知：ut(0,t)=ut(/,)=0Z1NfZ2uuYtdx=Idx(6)0UtUxxdx=utduY=um00,w(x,j,0)=(x,j),ut(x,y,0)=y/(x,y(8)心，儿艸血=(刃可类似得到能量积分:#上页I下页I返回I#上页I下页I返回IE(t)=JJ厨+a2(wj
2、+u)dxdy(10)#上页I下页I返回I#上页I下页I返回I且有:dE(t)dt#上页I下页I返回I(10)式的推导：(7)式两端同乘以陶并在O内积分，得(11)JJlUtUtt-a2(UtUxx+UtUyy)dxdy=0Qututt=孰;叫+UtUyy=(略叫)尢+()-=(utu)(ux+uy)t代入(11)式,得2aUUxx+(兔知)兀创二0#上页I下页I返回I由Green公式+（叫知）皿兀创=fQ5Q由边界条件（9）知：在QG上，吗三0故JJlCutux）x+（叫知）理兀如=oQ从而空=0dt上页下页I返回I2.初边值问题解的唯一性与稳定性定理6.1波动方程初边值问题：utt-a2A
3、w=/,(x,Clyt0(a) 0(b) ”(兀丿,0)=0,匕(兀丿,0)=0所以，对任意f0均有+/(+*)血=oQ西三Q西三,从而V(x,t)C(常数)dtdxtV(x,0)=0,二C=0,i.e,V(x,t)=0,Hj=u2#上页I下页I返回I能量不等式用能量积分法讨论波动方程初边值问题uu一a2Aw=f(x,j)e0,(c) u(x,y,0)=(p(x,y),ut(x.y,0)=0X刃，久3儿艸短=0解的连续依赖性。记E(t)=+a2(u+u)dxdyQ点)=2jJutfdxdyJJudxdy+JJf2dxdyQQQE(t)+jjf2dxdyQ上页I下页I返回I#=(E(f)E(t)
4、dE(0)+Jerjjf2dxdydTG丿(T当0GWF时E(t)CoF(0)+JojjfdxdydTIG丿(其中C=e是仅与卩有关的正常数。)E0(t)=ffu2dxdyQ=呱()dt=2jJuutdxdyjjwQQ2dx(fy+jjudxdy#空啤E.(t)+E(t)ne-fE(t)atatnEo(f)/竝(0)+必当时E0(Z)CJEX0)+JfE(T)dT)(G=)E(r)dTjC0(E(O)+J：fdxdydTdzwc2(e(o)+J：jjy加心血)(c2=cor)-E.(t)G陰(0)+E(O)+J：fdxdydx:.E(t)+E.(t)cE(+E+JJf2dxdydz上页I下页I
5、返回I#设分别为定义在。和(0,T)XQ内的函数，记制环)=(JI才血井|/|L2(0(r)xQ)-由能量不等式E(O+E0(Oce(O)+Eq(0)+J：jJQfdxdydr得制J。)+|叫爲2L2(Q)|爲+阀爲+0,3t1=t1(s9T)0,只要胁1-dbg卢II%-IL2(q)-|夠-IL2(q)-肱-b()切，M-如2(O(T)xQ)#上页I下页I返回#上页I下页I返回那么以中1）为初值,/1为右端项的解吗与以（申2,中2）为初值，人为右端项的解比2之差在0tT满足#上页I下页I返回3柯西问题解的唯一性与稳定性(d)2(弘憨+Uyy)=，Iux.y.0)=(p(x,y),ut(x,y,0)=设比是问题(d)的解#上页I下页I返回#上页I下页I返回记:(x-x0)2+(j-j0)2(R-at)2E、(码)=JJ讶+a2(u+u)dxdy则有血?“(证明略)dt故耳(GJWE。)#上页I下页I返回定理6.3波动方程初值问题（的的解是唯一的还可以仿照混合问题讨论解的连续依赖性.#上页I下页I返回
