函数的连续性.doc

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1、数学分析教案 第四章 函数的连续性 xbl第四章 函数的连续性 教学目的：1.使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念；2.熟练连续函数的性质并能加以应用；3.知道所有初等函数都是在其定义域上的连续函数，并能加以证明；4.理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与这一区间上一致连续的联系与区别。 教学重点、难点：本章重点是函数连续性的概念和闭区间上连续函数的性质；难点是一致连续性的概念与有关证明 。 教学时数：14学时 1 函数的连续性（4学时） 教学目的：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。教学要求：1. 使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续

2、的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；2. 应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；3. 明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。教学重点：函数连续性概念。教学难点：函数连续性概念。一、引入新课：通过生活和科学研究中的实例说明学习连续函数的必要性。 二、讲授新课： （一）函数在一点的连续性： 1连续的直观图解： 由图解引出解析定义. 2.函数在一点连续的定义: 设函数 在点 某

3、邻域有定义. 定义 用 例如 1P87例1和例2, P88 例3. 定义 用 定义 用 先定义 和 定义 连续的Heine定义. 定义 ( “ ”定义.) （注：强调函数 在点 连续必须满足的三个条件。）例1 用“ ”定义验证函数 在点 连续.例2 试证明: 若 则 在点 连续. 3.单侧连续: 定义单侧连续, 并图解. Th ( 单、双侧连续的关系 ) 例3 讨论函数在点的连续或单侧连续性. （二）间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类. 跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况 即 或 中至少有一个不存在 称为第二类间断点.例4 讨论函数 的间断点类型.例5 延拓函数 使在点

4、连续.例6 举出定义在0,1上且仅在点 三点间断的函数的例. 例7 讨论Dirichlet函数 和Riemann函数 的连续性. （三） 区间上的连续函数： 开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续. 2 连续函数的性质（6学时） 教学目的：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。教学要求：1. 掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明；熟知复合函数的连续和反函数的连续性。能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质；2. 掌握闭区间上连续函数的主要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用；3. 理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识

5、到函数在一区间上连续与在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。教学重点：闭区间上连续函数的性质；教学难点：一致连续的概念。一、 复习：连续、间断的含义. 二、讲授新课： （一）连续函数的局部性质: 叙述为Th 14. 1. 局部有界性： 2.局部保号性： 3.四则运算性质： 4.复合函数连续性： Th 4 若函数 在点 连续，函数 在点 连续, 且 , 则复合函数在点 连续. ( 证 ) 註 Th 4 可简写为（即在条件满足的前提下，极限运算与函数运算可以交换顺序。） 例1 求极限 例2 求极限: 例3 求极限 的连续性见后 . （二）闭区间上连续函数的基本性质: 1.最值性: 先定义

6、最值. Th 5 ( 最值性 ) 推论 ( 有界性 ) 2. 介值性: 定义介值. Th 6 ( 介值性 ) 连续函数的值域, 连续的单调函数的值域. 推论 ( 零点定理 ) 例4 证明: 方程 在 到 之间有实根. 例5 设 是正数, 为正整数. 证明方程 有唯一正实根. 唯一性的证明用 在 内的严格递增性. （三）反函数的连续性: Th 7 若函数 在 上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数在相应的定义域 或 上连续. ( 证 ) 关于函数 等的连续性 ( 1P99 E5,6.) （四）函数的整体连续性 一致连续： 1 连续定义中 对 的依赖性 ： 例6 考查函数 在区间 上的连续性.

7、对 作限制 就有对 ,取 这里与有关,有时特记为.本例中不存在可在区间 上通用的 , 即不存在最小的( 正数 ) .例7 考查函数 在区间 上的连续性.本例中可取得最小的, 也就是可通用的 该 却与 无关, 可记为 . 2.一致连续性: 定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系. 用定义验证一致连续的方法: 对 , 确证 存在. 为此,从不失真地放大式 入手, 使在放大后的式子中, 除因子 之外, 其余部分中不含有 和 , 然后使所得式子 , 从中解出 例8 验证函数 在 内一致连续. 例9 验证函 在区间 内一致连续. 证 例10 若函数在有限区间内一致连续,则在内有界.3.一致

8、连续的否定: 否定定义. 例11 证明函数 在区间 内非一致连续.证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取 取 与 便有 但 证法二 ( 用例10的结果 ). 4.一致连续的判定: Th8 (Cantor)若函数在闭区间上连续,在上一致连续. 3 初等函数的连续性（2学时） 教学目的：知道所有初等函数都是在其有定义的区间上连续的函数，并能够加以证明。教学要求：深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的，并能应用连续性概念以及连续函数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限。教学重点：初等函数的连续性的阐明。教学难点：初等函数连续性命题的证明。教学方法：学导式教学。回顾基本初等函数

9、中, 已证明了连续性的几个函数. 指数函数和对数函数的连续性. ( 证 ) 一.初等函数的连续性: Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续. Th2 任何初等函数在其有定义的区间上是连续的. 註: 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点. 例1 求函数 的连续区间和间断点. 解 的连续区间为: 、 、 和 . 间断点为: 和 . 在点 右连续 . 二.利用函数的连续性求极限: 例2 例3 作倒代换 例4 解 I = 例5 解 I = 习 题 课（2学时）*一、 理论概述： 二、 范例讲析： 例1 设函数 在区间 上连续, 且 证明: 在区间 上至少存在某个 使 证 若 , 取 或 即可; 若 不妨设 设 , 应用零点定理即得所证. 例2 设函数 在区间 上连续， 试证明： 使 例3 设 试证明：方程 在区间 内有实根. 例4 设函数 在 内连续且 则 在 内有最小值. 与 比较. 例5 设函数 和 在区间I上连续, 且在I的有理点 ,有 证明: 在I上 . 例6 设函数 和 在区间I上一致连续. 证明函数 在区间 I上一致连续. 例7 设函数 在有限开区间 内连续. 则 在有限开区间 内一致连续, 和 存在( 有限 ). 例8 设函数 在有限开区间 内连续. 则 在内一致连续, 在 内一致连续. 41- -