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1、 三角形有限元的超收敛性*陈传淼单位：陈传淼(湖南师范大学计算研究所，长沙 410081 1998-11-02收稿*数学天元基金重点资助项目(批准号：19331021)摘要基于三角形上的两类正交展开，对二阶椭圆问题研究了任意m次三角形有限元解(对偶数m)及平均梯度(对奇数m)在对称点上的超收敛性. 除此之外，再没有其他与方程系数无关的超收敛点.关键词超收敛三角形元任意次设在平面域上三角形剖分是拟一致的，记为m次三角形有限元子空间.二阶椭圆方程的解u及在的边界上有u=v=0.三角形有限元(Ritz投影)满足(1)这里假定双线性型用Wk,p()记Sobolev空间，范数为uk，p，.单元正交分析(
2、EOA)的思想1，2是构造u的一个较好的展开uI，使得uI超接近于uh，由(1)式，这等价于要求R=u-uI近似正交于:A(uh-uI,v)=A(u-uI,v)=O(hm+2)v2,1,，m2，(2)这里网格范数v2,1,=ev2,1,e.若(2)式成立并取v=gh(离散Green函数，见下面引理1)，它导致在中一致的超收敛估计(uh-uI)(z)=O(hm+2lnh), D(uh-uI)(z)=O(hm+1lnh), m2.(3)于是，R及其梯度DR的根正好分别是uh与Duh的超收敛点.故单元正交分析由两部分组成，即用单元上的某种正交展开来构造所需的逼近uI,并用单元之间的消除技术证明(2)
3、式.最基本的工具是在区间e=(-h,h)上的L-型与M-型正交展开.仍用u(t)记u(x)=u(ht),t(-1,1)，用D记对x求导，用记对t求导.显然，iu=hiDiu=O(hi).引进Legendre正交多项式lj(t)=i(t2-1)j/(2j)!(注意lj(1)=(1)j).对t积分后，得M-型多项式3：M0=1，M1=t,Mj+1=j-1(t2-1)j/(2j)!.若i-j=0或2, 则有(Mi,Mj)0，否则(Mi,Mj)=0.显然对n2有Mn(1)=0.为构造前述所需的展开，在过去20年中人们一直基于这样一种性质，即有限元解在每单元的顶点上有好的精度，于是常常使用M-型展开.为
4、了处理一般方程(组)，提出了单元消除技术，并研究了多种单元的整体超收敛性，如任意次一维元与矩形元，三角形线元与二次元46等.由于奇次三角形元在每个单元的顶点没有超收敛, 奇次一维元与矩形元L2投影也是如此7.为此，必须引进某些新思想和L-型展开.文献810对高次三角形元得到了局部对称点上的内部超收敛性.本文将用单元正交分析导出某些深刻结果.定理设uWm+1,2()Wm+2，()，=x,dist(x,)0，且uh是u的m次三角形有限元投影.设对某个l0，下列负范数估计成立：对偶数m2有u-uh-l,=O(hm+2)，或对奇数m1有O(hm+1).设剖分在上是均匀的，用Th记所有单元顶点与边中点的
5、集合，则在zTh2上，(u-uh)(z)=O(hm+2lnh)(偶数m2),(4)或者平均梯度(u-uh)(z)=O(hm+1lnh) (奇数m1).(5)除此之外，uh及Duh在所有单元中再没有其他与A的系数aij无关的超收敛点.本文结果能推广到二阶椭圆组.为了研究内部超收敛性，利用适当光滑的截断函数在中1，可构造及其局部的Ritz投影对某个l0, 有11uh-uh1,，2C(h2mum+1,+u-uh-l,),由此，uh的内部超收敛性能从局部投影uh的超收敛导出.不失一般性，下面只要讨论uWm+2,0()就够了，这里=，且=.1在三角形上的M-型分解记参考三角形E=(s,t)-1s,t1,
6、s+t0，3个顶点是z1=(-1，-1)，z2=(1,-1)，z3=(-1,1)，且3边是E=S0+S1+S2，这里S0=s=-1,-1t1，S1=t=-1,-1s1，S2=t=-s,-1s1.任意n次多项式uPn包含Nn=(n+1)(n+2)/2项，其中3n项由u在E上的值确定，而其他Nn-2=Nn-3n项由u在E内的值确定.对n3次齐次多项式sn,sn-1t,stn-1,tn，显然sn与tn由u在E上的值确定.因为线性组合sn-1t-(-1)nstn-1=st(sn-2-(-1)ntn-2)总包含着因子s+t，于是它能组成在E上为0的内部基(s+1)i(t+1)j(s+t).但sn-1t+
7、(-1)nstn-1仍由u在E上的值确定.现在利用M-型多项式Mj(t)在E上定义如下的基：p1=1,t,s, pj=pj0,pj1,pj2， pj0=Mj(t), pj1=Mj(s), j2，p22=-(s+1)(t+1), pj2=(Mj-1(-t)(s+1)-Mj-1(s)(t+1)/2, j3，(6)pji(s,t)=(s+1)j-i+1(t+1)i-2(s+t), 3ijn.(7)注意在S0,S1,S2上分别有p1=1,t,-1,1,-1,s,1,-s,s,pj=Mj(t),0,0,0,Mj(s),0,(-1)jMj(s),Mj(s),pj2(s,-s), 2jn,这里特别地，对j2
8、, 在3个顶点上pj=0,0,0.将任意n次多项式uPn写为形式(8)并对j2在S0,S1，S2上分别定义它的线积分bj0=j1(ut(-1,t),lj-1), bj1=j1(us(s,-1),lj-1), bj2=j1(s(u(s,-s),lj-1),(9)这里且比较u在S0，S1，S2上的系数，得3n-3个方程记dj=bj2-(-1)jbj0-bj1.首先有然后逐个确定j+2,2dj+2+，这里最后一项是j,n-1dn-1(对奇数j)或者jndn(对偶数j).将它们代入(8)式并合并dj的同类项，得到一个基本分解式(10)这里L(s,t;u)=(u2+u3)+(u3-u1)t+(u2-u1
9、)s)/2,bj=bj0,bj1,bj2,j=j0,j1,j2, j0=Mj(t)-(-1)jj2,j1=Mj(s)-j2,j2=jjpj2+j,j-2pj-2,2+.基j在S0,S1,S2上分别取Mj(t),0,0,0,Mj(s),0,0,0,Mj(s).在有边及顶点的共轭三角形E=-1s,t1,s+t0上，定义相应的基(对类似)，并写出n次多项式u=L(-s,-t;u)+Ln(b,)+Hn(b,p).注意到lj(-t)=(-1)jlj(t)，可知在E上的系数有类似于bji的表示式，但带有因子(-1)j.此性质在以后的单元消除中起着重要作用.2超接近的多项式：偶数m=2l2设且ue是它在单元
10、e上的m次逼近.由于低次多项式总可并入到ue中，不失一般性，将误差写为R=u-ue=L(s,t;R)+Ln(b,)+Hn(b,p)，这里bnj(j=0,1,2，n)由u的最高次系数给定，而其余的系数待定.首先要求在E上RMj(j=0,2,4,m),于是R变为R=Fn=j=3,5,nbjj+Hn(b,p),这里使用了3l+3个约束.当m=2时已得所需的展开(注意对m=1有R=b22).当m4时，引入这里常数在某个固定的x0e上给定,且对任意u常数有其次，进一步要求这里又使用了3l-3+Nm-2个约束(总共是3(l+1)+3(l-1)+Nm-2=Nm个约束).显然，在E上Fn1且在E中FnP1.由
11、于基函数j,pji(jn)的线性无关性，得到一个唯一可解的线性方程组，且这些系数bj，bji(jn)能用已给的常数线性表示.于是当m4时它们也依赖于A的系数，这导致ue穿过e时有间断.于是所需的误差展开为这里Fnj在E上仍是M3，M5，,Mn的线性组合，它们有公共根s(或t)=0,1(对称点).当m4，它们的切向导数没有公共根.此外，这些Fnj(或DFnj)在E内没有与aij无关的公共根.对任意uWn+1,()，利用u在E上的系数bj=bj0,bj1,bj2，可置+Ln(b,)，并展开即其中系数bji(3ijn)也能被确定.由Bramble-Hilbert引理，bnj=F(Dnu)hn,Rn=
12、O(hn+1).重复上面的论证，可在e上得到一个逼近ue,使得R=u-ue=Fn+Rn,Fn=这里在E上Rn1，且由u在E上的值唯一确定(于是Rn在中连续).系数bnj(e)也依赖于e中的Dnu,但Fnj的结构未变，在两个相邻单元e与e上,为了修补ue的间断性，注意余项Fn在S0,S1,S2上分别为j=3,5,nbj0Mj(t),j=3,5,nbj1Mj(s),j=3,5,nbj2Mj(s),且在3个顶点上Fn=0，于是所需的修改能限制在3边上.将从左下至右上逐个单元完成此过程.设新单元er有某些新边，例如S2(设在老边上的边值bj0(el),bjl(ek)已被定义)，用bj2(er)规定新边
13、值，并构造m-1次分片多项式L(el,ek,er)=它在中连续.在单元e=er中，差=L(e,e,e)-L(el,ek,er)=O(hn+1).因此，所需的逼近uI=ue+在穿过e时连续，误差为R=u-uI=Fn(s,t;b(e)+Rn, Rn=O(hn+1),(11)在E上Rn1.利用m次检验函数有(12)这里Dlv是v沿e的切向导数，C.因u是双奇函数，u(-s,-t)=-u(s,t).在共轭单元E上有误差表示R=u-=(s,t)并导出类似于(12)式的公式.注意aDr及A0r在E上的符号未变，且反号，于是线积分(12)式能看作是沿反时针方向的围道积分.最后，对uWn+1,()，注意到在相
14、邻两单元e及e上aij(e)-aij(e)=O(h),bj(e)-bj(e)=O(hn+1)，并对所有单元求和，则所有在内的线积分相互抵消，并导致(13)3对偶数m的定理证明引理112,1令g(x；z)及gh(x；z)分别是A的正规化Green函数及其有限元投影，则g-gh1,1,chlnh,g2,1,+gh2,1,clnh,gh1,1,clnh. 若参变点z远离曲线，则有内估计g2,1,+gh2,1,clnh.引理2若函数r=O(h)在上分片连续且在任意单元的每条边上与1正交，则A(r,gh)=O(h)gh2,1，=O(h lnh).证用记aDgh在每条边上的平均值，用A*表示A的共轭算子.利用Green公式，r的正交性，Bramble-Hilbert引理与逆估计，直接可得所需估计.现在转向(4)式的证明.将导出误差的基本表示(14)由引理2，A(Rn,gh)=O(hm+2lnh)，剩下估计A(Fn,v).首先考虑低次项因在e上vt=10
