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1、1 题目：生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。动物体重（g） 心率（次/分）田鼠家鼠兔小狗大狗羊人马 25 670 200 420 2000 2055000 12030000 8550000 7070000 72450000 38解：动物消耗的能量主要用于维持体温，而体内热量通过表面积散失，记动物体重为，则。正比于血流量，而，其中是动物每次心跳泵出的血流量，为心率。合理地假设与成正比，于是。综上可得，或。由所给数据估计得，将实际数据与模型结果比
2、较如下表： 动物 实际心率（次/分） 模型结果（次/分）田鼠家鼠兔小狗大狗羊人马 670 715 420 375205 166120 12285 6770 5772 5138 272 题目：一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：身长36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1重量756 482 1162 737 482 1389 652 454胸围24.8 21.3 27.9 24
3、.8 21.6 31.8 22.9 21.6先用机理分析，再用数据确定参数。问题分析 本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。模型假设 设鱼的重量为； 语的身长记为；模型的构成与求解 因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量与身长的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。即，为比例系数。不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等
4、看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是，为比例系数。利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：=0.0146，=0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表：实际重量76548211627374821389652454模型72746912267274831339675483模型73046511007304831471607483通过机理分析，基本上满意。结果分析及评注通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意，上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体长度去估计
5、它的体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。可见这种类比法对于解释一些问题，还是非常重要的，我们得多多借鉴。 3 题目：考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。本题是由关物理量之间关系的问题，很明显我们可以用物理量的量纲齐次原则，建立模型确定各个物理量之间的关系。本题中涉及的物理量有阻力f、摆长l、质量m、重力加速度g、周期t。分别分析各个物理量的量纲，由于阻力f 与摆的速度成正比所以f的量纲与v 的量纲相同f=v=LT,t=T,m=M;g=LT,l=L。设这些物理量之间的关系
6、为：,因此量纲表达为：把各个物理量的量纲带入量纲表达式得：按照量纲齐次原则应有最后解得：作物理模拟的比例模型时，设和 不变，设模拟模型和原模型的周期、摆长、质量分别为：那么只要就有4 题目： 小球做竖直上抛运动：质量为的小球以速度竖直上抛，阻力与速度成正比，比例系数。设初始位置为=0，轴竖直向上，则运动方程为：m+k+mg=0,x(0)=0,（0）= ，方程的解可表为=(;,).试选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论很小时求近似解的可能性 建模与解题：注意到=t,(1)选取特征尺度=m,=,则方程化为+1=0，（0）=0，（0）=（1） 其中=/，解可表示为=（；）。很小时很小，（1）无解。
7、（2）选取=， =，则+1=0，（0）=0，（0）=1同上，表达式同上。但当很小时（2）有解。它正是原问题忽略阻力时的近似解。 5 录象机计数器的用途一、问题：老式的录象机上有计数器，而没有计时器,计数器的读数并非均匀增长，而是先快后慢，那么计数器读数与录象带转过的时间之间有什么样的关系呢？在适当的假设下建立表述这个关系的数学模型二、模型假设：1）录象带的线速度是常数；2）计数器的读数与右轮盘转的圈数（记作）成正比，为比例系数；3）录象带的厚度（加上缠绕时两圈间的空隙）是常数，空右轮盘半径为;4)初始时刻=0时=0; 三、建立模型：当右轮盘转到第圈时其半径为，周长为2*(r+w*i)，m圈的总
8、长度恰等于录象带转过的长度，即：四、模型求解：因为m=k*n有: 推出：考虑wr所以有推出：我们可以应用Mathematica编程求解，程序如下：Slove*(,结果为:*6 问 题：质量为的小球以速度竖直上抛，阻力与速度成正比，比例系数为，设初始位置为轴竖直向上，则运动方程为 方程的解可表示为。试选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论很小时求近似解的可能性。问题分析：所谓无量纲化是指：对于变量和分别构造具有相同量纲的参数组合和，使新变量 为无量纲量。称为特征长度，称为特征时间。统称特征尺度或参考尺度。问题求解：可以选取以下两种尺度将问题无量纲化（1） 选取尺度，则方程化为 （1）其中，解可以
9、表示为。很小时（1）无解。（2） 选取尺度，则方程化为 （2）其中，解可以表示为。很小时（2）有解。它是原问题忽略阻力时的近似解。结 果：原问题忽略阻力时运动方程为 （3） 解方程（3）可得： 7 题目一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：身长36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1重量756 482 1162 737 482 1389 652 454胸围24.8 21.3 2
10、7.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6先用机理分析，再用数据确定参数。问题分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。模型假设 设鱼的重量为； 语的身长记为；模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量与身长的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。即，为比例系数。不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和
11、瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是，为比例系数。利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：=0.0146，=0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表：实际重量76548211627374821389652454模型72746912267274831339675483模型73046511007304831471607483通过机理分析，基本上满意。结果分析及评注通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意，从上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体
12、长度去估计它的体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。可见这种类比法对于解释一些问题，还是非常重要的，我们得多多借鉴。8 题目. 雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。解: 一 符号说明设雨滴质量m，体积V，表面积S，雨滴的特征尺寸L，重力f1,空气阻力f2., 雨滴下降速度为v.二 问题分析与模型建立： 根据已知条件可知： mVL3 , SL2 .可得：Sm2/3 。我们知道，雨滴在重力f1和空气阻力f2的作用下是匀速v下降的， 从而可以得出： f1=f2 . 又 f1m,f2Sv2 .由以上关系可以得出： vm1/6 .三 结果分析： 本问题主要考察的是用量刚分析方法求速度，量刚分析是在经验和实验的基础上利用物理定理的量刚齐次原则，确定各物理量之间的关系。9 动物的体重与心率之间的关系.生物学家认为,对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温,能量与从心脏到全身的血流量成正比,而体温主要通过身体表面散失,建立一个动物体重与心率之间关系的模型,并用下面的数据加以检验.动 物 体重(g)
