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1、聚焦中考数学规律探究性问题 一、新定义型 例1 我们知道，一元二次方程x21没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1若我们规定一个新数“i”，使其满足i21（即方程x21有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1i，i21，i3i2i（1）ii，i4（i2）2（1）21从而对任意正整数n，我们可得到i4n1i4ni(i4)nii，同理可得j4n2l，i4n3ii4n1，那么，ii2i3i4i2012i2013的值为( ) (A)0 (B)l(C)1 (D)i 解析 ii2i3i4ilil0 而201345031， ii2i3i4i
2、2012i2013i 所以本题选D 方法指导 对于数字规律题，有如下的步骤： (1)计算前几项，一般算出四五项； (2)找出前几项的规律，这个规律或是循环，或是成一定的数列规律如等差，等比等； (3)用代数式表示出规律或是得出循环节（即几个数一个循环）； (4)验证你得出的结论 归纳总结 新定义型问题是指在试题中给出一个从未接触过的新概念，要求现学现用，主要考查学生的阅读理解能力，应变能力和创新能力解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握教学中的基本概念和基本的性质 二、数式规律型 例2 观察下列各式的计算过程： 550ll0025，来源:学_科_网 1515
3、12l0025 252523l0025 353534l0025 请猜测，第n个算式（n为正整数）应表示为_ 解析 根据数字变化规律得出个位是5的数字与它本身的乘积等于十位数乘以十位数字加1再乘以100再加25，进而得出答案 10(n1)52100n(n1)25 方法指导 此题主要考查了数字变化规律，根据已知数字得出数字之间的变与不变，是解题的关键 归纳总结 通常给定一些代数式，等式或者不等式，猜想其中蕴含的规律，一般解法是，先写出代数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中的不同数量关系），或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系），找出各部分的特征，写出符合条件的格式 三、图形变化规律型例
4、3如图1，每一幅图中均含有若干个正方形第幅图中含有1个正方形；第幅图中含有5个正方形；按这样的规律下去，则第(6)幅图中含有_个正方形来源:学科网 解析 第幅图中含有1个正方形； 第幅图中含有5个正方形； 第幅图中含有14个正方形 又l12；51222；14122232可知第幅图中含有12223242526291个正方形 方法指导 首先，分类讨论正方形的类型及个数，做到不重不漏，是发现规律的关键；其次，探究数据之间的联系及规律，要将数据作恰当的分解 归纳总结 图形变化型问题主要是观察图形变化过程中的特点，分析其联系和区别，利用相应的算式，由特殊到一般描述其中的规律，这需要有敏锐的观察能力和计算
5、能力 四、点坐标变化规律型 例4如图2，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，顶点依次用A1、A2、A3、A4、表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、均相距一个单位，则顶点A3的坐标是_，A22的坐标是_解析 由于2237余1，而A1的坐标为（1，1），A4的坐标为（2，2），A7的坐标为（3，3），可得A22的坐标为(8，8) 方法指导 解决数字规律或图形规律问题时，用表格上下把数的序号及图形的序号表示出来，再在后面写出它的结果，这样容易看出其中的规律 归纳总结 此类题型主要考查点的坐标规律，培养学生观察和归纳
6、能力，从所给的数据和图形中寻求规律是解答本题的关键 五、数形结合规律型 例5如图3，动点P从(0，3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为( ) (A)(1，4) (B)(5，0)(C)(6，4) (D)(8，3)来源:Zxxk.Com 解析 如图3，动点P(0，3)沿所示的方向运动，满足反弹时反射角等于入射角，到时，点P(3，0)；到时，点P(7，4)；到时，点P(8，3)；到时，点P(5，0)；到时，点P(1，4)；到时，点P(3，0)，此时回到出发点，继续，出现每5次一循环碰到矩形的边因为201340253(
7、201354023)，所以点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为(8，3)故选D 方法指导 本题考查了图形变换（轴对称）与平面直角坐标系规律探索，是以平面直角坐标系为背景，融合轴对称应用的点坐标规律的规律探索题解题关键从操作中前面几个点的坐标位置变化，猜想、归纳出一般变化规律 归纳总结 方格图中的规律探究问题，体现了数与形的完美结合，展示了数学的美，这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力，解决这类问题要求学生不仅要有很好的数感，还要有很强的图形意识 六、阅读理解型 例6对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点
8、顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似例如，如图4(1)，ABCABC，且沿周界ABCA与ABCA环绕的方向相同，因此ABC和ABC互为顺相似；如图4(2)，ABCABC，且沿周界ABCA与ABCA环绕的方向相反，因此ABC和ABC互为逆相似来源:Z&xx&k.Com(1)根据图5(1)，图5(2)和图5(3)满足的条件，可得下列三对相似三角形：ADE与ABC；GHO与KFO；NQP与NMQ其中，互为顺相似的是_；互为逆相似的是 （填写所有符合要求的序号）来源:学科网(2)如图6，在锐角AABC中，ABC，点P在ABC的边上（不与点A，B，C重合）过点P画直线截ABC，使截得的一个三
9、角形与ABC互为逆相似，请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由 解析 (1)； (2)根据点P在ABC边上的位置分为以下三种情况 第一种情况：如图7(1)，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2，分别使CPQ1A，BPQ2A，此时PQ1C、PBQ2都与ABC互为逆相似 第二种情况：如图7(2)，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作CBMA，BM交AC于点M 当点P在AM(不含点M)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使AP1QABC，此时AP1Q与ABC互为逆相似； 当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q
10、1、P2 Q2，分别使AP2Q1ABC，CP2Q2ABC，此时AP2Q1、Q2P2C都与ABC互为逆相似 第三种情况：如图7(3)，点P在AB（不含点A、B）上，过点C作BCDA，ACEB，CD、CE分别交AC于点D、E 当点P在4D(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使AP1QABC，此时AQP，与ABC互为逆相似； 当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2 Q2，分别使AP2Q1ACB，BP2Q2BCA，此时AQ1P2、Q2BP2都与ABC互为逆相似；当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q，使BP3QBCA，此时QBP3与ABC互为逆相似 方法指导 本题是创新型中考压轴题；主要考查了相似三角形的知识点、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力准确理解题设条件中“顺相似”、“逆相似”的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解归纳总结 这类题型主要考查学生自学能力和阅读能力、知识迁移能力、加工和利用信息的能力要求学生运用范例，形成科学的思维方式和思维策略，或利用归纳与类比作出合理的判断和推理，找出规律，进而解决问题
