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1、研究领域：微观经济学价差现象的一种解释Hal R. Varian大减价模型的不对称均衡王俊南开大学经济学院内容提要 本文弥补了Hal R. Varian 大减价模型的缺陷，给出了该模型的不对称均衡ANE。然后用ANE来解释市场价差现象以及市场定价策略的多样性。最后证明大减价模型有且仅有四类均衡（即SNE；ANE、）。 关键词 信息 价差 大减价模型 不对称纳什均衡 可行价格一、导言主流经济学通常假定对于同一种商品整个市场只有一个价格，即所谓的一价定律。然而现实生活却远非如此。首先，从空间上看，同一时点上同一种商品在各地的价格并不相同。其次，从时间上看，同一家店铺对同一种商品的定价也不一定是一成
2、不变的（例如常见的大减价的情形）。也就是说市场上存在“价差”（price dispersion）现象。价差现象的普遍性早就引起了经济学家的关注。首先是George Stigler（1961），他开创了信息经济学对市场价差的研究。Steven Salop和Joseph Stiglitz（1977）则首度将市场上的消费者分为有信息的和无信息的两类，来说明市场价差。Hal R. Varian（1980）的贡献在于他弥补了前人局限于对空间价差（spatial price dispersion）的缺陷，将研究的触角延伸到时间价差（temporal price dispersion）的领域。Hal R.
3、Varian（1980）分析了垄断竞争条件下的混合策略均衡。由于其分析过程中有一个循环论证 参见附录1，所以只得出了对称均衡。该对称均衡存在三大不足：一是所有的店铺都采用相同的定价策略，这与市场上定价策略的多样性矛盾。二是所有店铺的定价均为一个连续区间，这与现实中定价的跳跃性矛盾。三是可行价格集中任意一点的定价概率均为0，也即价格是常变的，不在任何一个特定的点“滞留”，这也与现实不符。本文给出的Hal R. Varian大减价模型的不对称均衡，弥补了上述三个缺陷。本文的第三部分先给出Hal R. Varian模型的对称均衡和不对称均衡的具体形式，并对其经济涵义进行了比较。第四部分再给出求均衡解
4、的数学过程。为了行文的便利，本文第二部分首先给出Hal R. Varian的大减价模型。二、Hal R. Varian的大减价模型假定有某件商品拥有大量的消费者，每位消费者对该商品的购买量不会超过一件（要么不买，要买也只买一件）。所有的消费者对该商品都有一个相同的保留价格r，当店铺出价高于r时，没人愿意购买。消费者分为两类：有信息的和无信息的。无信息的消费者随机选择店铺，如果价格不高于r就购买。有信息的消费者了解每家店铺的价格，因此他们总能以最低的价格（当然该价格必须小于或等于r）买到商品。用表示有信息的消费者的数量；用表示无信息的消费者的数量。市场上有n家店铺，由于市场可以自由进出，所以所有
5、店铺的预期收益为0。用表示每间店铺分摊到的无信息的消费者的数量。每家店铺都有自己的价格策略，该策略给出了上每一个价格p对应的概率（或概率密度），用p的累积密度函数表示 显然，这种策略表述既适用于混合策略，同时也涵盖了纯策略。每个时期，每家店铺都按各自的策略定价，各个店铺定价是相互独立的，即有。定价高（即不是最低）的店铺只能拥有U名无信息的消费者，定价最低的店铺不但拥有U名无信息的消费者还平均分摊I名有信息的消费者。当只有一个店铺出价最低时，该店铺获得IU名消费者，其他店铺各获得U名消费者。假定所有店铺具有相同的平均成本曲线，该曲线严格单调递减 这与零售业本身的特点基本相符。用表示总成本函数，表
6、示平均成本函数，其中q为销售量。为了便于分析，令。所有店铺都是理性的，而且以上假定的所有内容对所有店铺都是“共同知识”（common knowledge）。三、对称均衡和不对称均衡及其经济涵义定义1：对于，如果（离散型）或（连续型），则称p为店铺i的可行价格。对称均衡 Hal R. Varian（1980）有详细论述。（简称SNE）为下述策略组合（参见图1）：市场上有n家店铺，n由决定。所有店铺的可行价格的定义域均为，且定价策略（即累积密度函数）均为：其中，。不对称纳什均衡（简称ANE）为下述策略组合（参见图24）：市场上有n家店铺，n同样由决定。n家店铺中有t家的可行价格的定义域为。为了便于
7、描述，不妨设这t家店铺为第1家第t家。其余家店铺的可行价格的定义域为单值点和连续区间，其中， 当时，可以理解为，店铺i的可行价格的定义域仅为单值点。不失一般性，令，即将后家店铺按其连续区间的上限由大到小排列，同时为了统一符号令。对于任意一点所有n家店铺的定价策略，即累积密度函数均为：。对于任意一点，前k家店铺的定价策略（即累积密度函数）均为：。对后家店铺而言，它们定价为r的概率分别为其中。按可行价格的定义域不同，ANE又分为三种情形：、（参见图2）。有家店铺的可行价格的定义域均为。其余家店铺的可行价格的定义域为单值点和连续区间，其中，。、（参见图3）。有家店铺的可行价格的定义域均为。家店铺的可
8、行价格的定义域为单值点和连续区间，其中，。还有家店铺的可行价格的定义域均为单值点。、（参见图4）。有家店铺的可行价格的定义域均为。其余家店铺的可行价格的定义域均为单值点。从图1可以看出，SNE中所有店铺的可行价格区间都是连续的。要用SNE来解释“大减价”这样的价格跳跃现象还需要进一步分析定价策略。通过计算可知 推导过程参见附录2：令，则当时，单调递减；当时，达到最小值点；当时，单调递增。也就是说的大致形状为U形。根据Hal R. Varian（1980）的解释，这种U形的定价意味着任意一家店铺定价“较高”和 “较低”的概率较大，而定“中间价”的概率较小。他通过所有店铺只有固定成本k的特例来阐述
9、这一观点（参见图5）。然而，用这种方式来解释“大减价”现象有两个缺陷：第一，如果把 “较高”的价格视为原价，把“较低”的价格视为“大减价”，那么“中间价”指代的又是什么呢？第二 参见附录3，当时，（参见图6），不存在定“较低价”的概率较大的情形，从而更加不能解释“大减价”的现象。从图2可以看出，ANE中有一部分店铺的可行价格区间是间断的。而且对这些店铺而言定价为的概率分别为其中。这刚好解释了现实中普遍存在的现象：对于大多数店铺而言，商品通常按“原价”卖，偶尔才有“大减价”。从图3可以看出，ANE中不但有一部分店铺的可行价格区间是间断的。而且还有一部分店铺以概率1定价为。因此，在ANE的框架下，
10、不仅可以解释“大减价”现象还可以解释市场上定价策略的多样性：有的店铺频繁变动其价格；有的店铺采用“大减价”的策略；还有的店铺始终维持高价。从图4可以看出，ANE所对应的市场中有一部分店铺始终维持高价；其余店铺频繁变动其价格。表1总结了上述四种均衡的经济涵义。表1： Hal R. Varian“大减价”模型的四种类型的均衡与其所解释的市场类型。均衡类型可用来解释的市场类型SNE所有店铺定价策略相同，均频繁变动其定价。ANE一部分店铺频繁变动其价格；其余店铺采用“大减价”策略。一部分有的店铺频繁变动其价格；一部分店铺采用“大减价”的策略；一部分店铺始终维持高价。一部分有的店铺频繁变动其价格；一部分
11、店铺始终维持高价。本节直接给出了均衡的几种类型，下一节将给出求解这几种均衡的推导过程，并证明Hal R. Varian“大减价”模型只有这四种均衡，不存在其他类型的均衡。四、求均衡解的数学推导为了求Hal R. Varian“大减价”模型的价格策略纳什均衡 本节的分析均以纳什均衡为对象。（Nash，1950），必须进一步分析每家店铺的策略空间。由于任意一家店铺可能获得的最多消费者为IU位，由模型的假设知。根据平均成本严格单调递减可知p*为任意一家店铺所能达到的最低平均成本，从而没有一家店铺的定价会低于p*。同时只有定价低于保留价r时消费者才会购买，所以没有一家店铺的定价高于r。从而有：结论1
12、该结论与Hal R. Varian（1980）文章中的命题1相一致，只不过用累积密度函数F(*)来表示比用密度函数f(p) 更加严谨：前者涵盖了离散型分布的情形而后者没有。：，。引理1：任取一店铺i，其所有可行价格的预期收益均等于0。也即对于，如果（离散型）或（连续型），则：其中，表示除i外其余n-1家店铺的定价。证明：不失一般性，设可行价格的预期收益小于可行价格的预期收益，则理性的消费者会以来替代，策略有偏移的诱因。这与均衡的定义矛盾，所以均衡中的预期收益只能等于的预期收益。由于是任取的，所以所有可行价格的预期收益相等。又因为市场是自由进入的，所以所有可行价格的预期收益都等于0。引理2 该结
13、论适用于，而不仅适用于可行价格，从而将端点也涵盖在内。：对任意店铺i的某一可行价格有：。证明：假定对于店铺i有或。由于在任意概率分布中，正概率点群（points of positive mass）的个数是可数的。所以可以找到足够小的使得n家店铺定价为的概率都等于0。比较店铺i定价分别为和的预期收益。定价为时预期收益表示为以下五项之和： 而定价为时预期收益表示为以下三项之和：当时，从而，店铺i定价为的预期收益与定价为的预期收益之差趋向于下式：上式不能大于0，否则有偏离的诱因，从而与均衡的定义矛盾。同时，又 。 引理2的结论要弱于Hal R. Varian文章中命题3的结论，原因是这里考虑了不对称
14、均衡存在的可能性，而不是假定只存在对称均衡。由引理1和引理2可得：推论1：对任意店铺i的某一可行价格p，其预期收益可由下式表示：。结论2：任意两间店铺在可行价格相同的点，累积密度函数的取值相同。证明：从市场上任取两个店铺（i和j），假定是两个店铺共同的可行价格，亦即（离散型）或（连续型）；且或。则店铺i定价为p的预期收益为： （推论1） 其中表示除i和j以外其余n-2家店铺的定价。两边同乘以，化简得：（引理2）（引理2）（1）考虑店铺j，同理可得：（2）由（1）式和（2）式可知：。定义2：用Si表示店铺i的所有可行价格的集合，则称为市场价格可行集。引理3 这里并不排除某家店铺的可行价格集不成立
15、的情形。：市场价格可行集 在这里，符号“”表示S可以是区间，也可以是区间剔除掉可数个点的情形（下同）。也就是说，对于市场价格可行集S而言，不可能在的某个连续区间没有定义 可以参看Hal R. Varian（1980）文章中的命题6、命题7和命题8的证明。证明：由于所有店铺的定价都不会小于p*或大于r，所以S必然是的一个子集。反证法。假定存在区间且。若，则所有店铺的最低定价都大于。此时若有一家店铺改变其策略，以概率1定价为则它的收益将由0（引理1）变为正数 。由于有偏离的诱因所以时不存在均衡。若，令，。那么就是市场价格可行集中小于的价格中最大的一个。不妨设，则对店铺i而言，定价为的预期收益为： （推论1）从而店铺i有偏离选择的诱因，所以时也不存在均衡。证毕。引理4：对任意店铺i的任一可行价格，有，即。证明：反证法。假定，由可知存在某家店铺的某个可行价格。j定价为的预期收益为： （与引理1矛盾）
