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1、12.2三角形全等的判定1三角形全等的判定方法一：边边边(SSS)(1)边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)这个判定方法告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也就随之确定，这就是三角形的稳定性，它在实际生活中应用非常广泛(2)书写格式：先写出所要判定的两个三角形；列出条件：用大括号将两个三角形中相等的边分别写出；得出结论：两个三角形全等如下图，在ABC和ABC中，ABCABC(SSS)警误区 书写判定两个三角形全等的条件在书写全等的过程中，等号左边表示同一个三角形的量，等号右边表示另一个三角形的量如上图，等号左边表示ABC的量，等号右边表示ABC的量符
2、号“”表示“因为”，“”表示“所以”，在以后的推理中，这样书写简捷、方便要注意它们的区别(3)作一个角等于已知角已知：AOB.求作：AOB，使AOBAOB.作法：如上图所示，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C；以点C为圆心，CD长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于点D；过点D画射线OB，则AOBAOB.【例1】 如图所示，已知ABDC，ACDB，求证：ABCDCB.分析：已知两边对应相等，由图形可知BC为两个三角形的公共边，所以ABCDCB(SSS)证明：在ABC和DCB中，ABCDCB(SSS)2三角形全等
3、的判定方法二：边角边(SAS)(1)边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)(2)书写格式：如下图，在ABC和ABC中，ABCABC(SAS)警误区 不能用“SSA”判定三角形全等有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，即不能用“SSA”作为三角形全等的判定如图，在ABC和ABD中，AB=AB，AC=AD两条边对应相等，并且边AC，AD所对的角B=B，很显然，ABC和ABD不全等(3)注意：在“边角边”这个判定方法中，包含了边和角两种元素，且角是两边的夹角，而不是其中一边的对角为了避免“SAS”与“SSA”(两边不夹角)混淆，在应用该方法
4、时，要观察图形确定三个条件，按“边角边”的顺序排列，并按此顺序书写【例2】 如图，两个透明三角形纸片叠放到桌面上，已知ACEFCB，ACEC，BCFC，则ABC与EFC全等吗？请说明理由解：ABCEFC.理由：ACEFCB，ACEECBFCBECB，即ACBECF.在ABC和EFC中，ABCEFC(SAS)3三角形全等的判定方法三、四：角边角(ASA)及角角边(AAS)(1)角边角：内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)书写格式：如图，在ABC和ABC中，ABCABC(ASA)(2)角角边：内容：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以
5、简写成“角角边”或“AAS”)书写格式：如下图，在ABC和ABC中，ABCABC(AAS)(3)“角边角”与“角角边”的关系：由三角形的内角和定理知，只要两个三角形的两个角对应相等，则其第三个角也对应相等，所以两角及一边对应相等的两个三角形一定全等无论这一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可判定两个三角形全等(4)注意：在运用“ASA”时，要从图形上确定是按“角边角”的顺序排列条件；在运用“AAS”时，要从图形上确定是按“角角边”的顺序排列条件警误区 不能用“AAA”判定三角形全等有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，即不能用“AAA”作为三角形全等的判定如下图，在ABC和ABC中，A
6、A，BB，CC，很显然，ABC和ABC不全等【例3】 (一题多证)已知，如图，D是ABC的边AB上一点，ABFC，DF交AC于点E，DEEF.求证：AECE.证法一：ABFC，ADEF.在ADE和CFE中，ADECFE(ASA)AECE.证法二：ABFC，AECF，ADEF.在ADE和CFE中，ADECFE(AAS)AECE.4直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边(HL)(1)内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)(2)书写格式：如下图，在RtABC和RtABC中，RtABCRtABC(HL)警误区 “HL”适用的前提条件(1)“HL”只适
7、合直角三角形全等的判定，不适合一般三角形全等的判定；(2)直角三角形全等的判定既可以用“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”，又可以用“HL”【例4】 如图，ADCD，ABCB，垂足分别是D，B，且ADAB，求证：AC平分DCB.证明：ADCD，ABCB，D与B都是直角在RtADC和RtABC中，RtADCRtABC(HL)ACDACB，即AC平分DCB.5判定两个三角形全等的常用思路判定两个三角形全等的方法有：“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”这五种，其中“HL”只适合于直角三角形在具体运用过程中，要认真分析已知条件，挖掘题中隐含条件，有目的地选择三角形全等的条件，一般可按
8、下面的思路进行：(1)已知两边(2)已知一边一角(3)已知两角6全等三角形判定和性质的综合运用全等三角形的性质是对应角相等、对应边相等，全等三角形的判定是“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”在说明线段相等或角相等时，常常需要综合运用全等三角形的性质和判定说明两条线段或两个角相等时，可考虑两条线段或两个角所在的两个三角形是否全等，若由已知条件不能直接说明这两个三角形全等时，可以由已知条件先推出其他的三角形全等，再由全等三角形的性质得到一些线段或角相等，为说明前面的三角形全等提供条件【例5】 如图，已知EF90，12，ACAB，求证：AEBAFC.分析：已知EF90，ACAB，即已知一
9、边及一角，并且这边是角的对边，根据判定两个三角形全等的常用思路再找另一角即可，由12，可得EABFAC，再根据全等的判定方法AAS可证AEBAFC.证明：12，1BAC2BAC，即EABFAC.在AEB和AFC中，AEBAFC(AAS)【例6】 如图1，已知ABCD，OAOD，AEDF，求证：EBCF.图1证明：如图2，ABCD，43.在OAB和ODC中，图2OABODC(ASA)OBOC.又AEDF，OAOD，OAAEODDF，即OEOF.在BOE和COF中，BOECOF(SAS)EF.EBCF.7全等三角形判定中的探究性问题动态探究型问题一般是指几何图形的运动，包括点动(点在线上运动)、线
10、动(线的平移、对称、旋转)、面动平面几何图形的平移、对称(翻折)、旋转这类问题具有灵活性、多变性，常融入三角形，综合运用三角形全等知识但万物皆有源，几何以点为源泉，无数个点可以形成各种图形，所以图形的运动其实是无数个点的运动点动带动图形动，图形动引起点的位置发生变化，相辅相成，变化无穷，但万变不离其宗，解决问题要抓住一些关键点即可对于运动变化过程中的探索性问题的求解，应动中取静，先取某一特定时刻物体的状况进行探究，获得结论，再由特殊推知其一般结论，并运用几何知识(全等三角形的判定)加以证明 【例7】 (科学探究题)如图，在ABC中，ABAC10 cm，BC8 cm，点D为AB的中点如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 s后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？解：(1)t1 s，BPCQ313(cm)AB10 cm，点D为AB的中点，BD5 cm.又PCBCBP，BC8 cm，PC835(cm)PCBD.又ABAC，BC.BPDCQP.(2)vPvQ，BPCQ.又BPD与CQP全等，BC，则BPPC4 cm，CQBD5 cm，点P，点Q运动的时间t(s)vQ(cm/s)
