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1、高数复习题1极限与连续一、填空题1函数的定义域为_函数的反函数为_设,则_当 时,若 与 等价,则_,_已知,则_二、单项选择题1若数列满足,则数列在的任一邻域之外(其中)数列中的点( )()必不存在; ()至多只有有限多个; ()必定有无穷多个; ()可以有有限多个,也可以有无穷多个。2考察下列命题 若数列满足:,且,则。 若数列满足:,且,则。 设,且,则存在,当时,有。 设,且,则存在,当时,有。正确的命题是( )。(),; (),; (),; (),。3下列结论错误的是()()函数是有界函数;(B)当时,函数的极限存在;(C)是奇函数; (D)当时, 是无穷小量4设 ,则=( )();
2、 (); ()1; ()2。5设,则当时,( )()和是等价无穷小量; (B)是的高阶无穷小量;(C)是的低阶无穷小量; (D)和是同价无穷小量但非等价量6极限 =( )()2; ()0; (); ()不存在但不为。7设,则( )()1; (B)0; (C); (D)8下列运算过程正确的是( )();(B);(C); (D)9设函数,讨论函数的间断点,其结论为( )()不存在间断点; ()是的间断点;()是的间断点; ()是的间断点。10设 在处连续,则( )()2; (); (); ()。三、设求的表达式四、设函数,讨论函数的连续性,并指出间断点的类型五、设在上连续,求六、计算极限(1) (
3、2)七、设 ,(),证明存在,并求八、已知,求九、设是三次多项式,且,(1)求,; (2)求; (3)十、设在区间上连续,是两个任意给定的正数,证明存在,使得参 考 答 案一、填空题1函数的定义域为 函数的反函数为 设,则当 时,若 与 等价,则,3已知,则二、单项选择题1若数列满足,则数列在的任一邻域之外(其中)数列中的点( B )()必不存在; ()至多只有有限多个; ()必定有无穷多个; ()可以有有限多个,也可以有无穷多个。2考察下列命题 若数列满足:,且,则。 若数列满足:,且,则。 设,且,则存在,当时,有。 设,且,则存在,当时,有。正确的命题是(B )。(),; (),; ()
4、,; (),。3下列结论错误的是(B)()函数是有界函数;(B)当时,函数的极限存在;(C)是奇函数; (D)当时, 是无穷小量4设 ,则=( B )(); (); ()1; ()2。5设,则当时,( A )()和是等价无穷小量; (B)是的高阶无穷小量;(C)是的低阶无穷小量; (D)和是同价无穷小量但非等价量6极限 =( D )()2; ()0; (); ()不存在但不为。7设,则( D )()1; (B)0; (C); (D)8下列运算过程正确的是( C )();(B);(C); (D)9设函数,讨论函数的间断点,其结论为(B )()不存在间断点; ()是的间断点;()是的间断点; ()
5、是的间断点。10设 在处连续,则( D )()2; (); (); ()。三、设求的表达式解:四、设函数,讨论函数的连续性,并指出间断点的类型解:因为在时无定义,所以为间断点,函数在定义域内连续。又因为:当时,所以是无穷间断点;当时, ,所以,是可去间断点。五、设在上连续,求解:因为在上连续,所以,而,所以:。六、计算极限(1)解:(2)解:原式=。七、设 ,(),证明存在,并求解:因为,所以:数列有界;下证单调性:因,假设,则:,即:,所以数列单调递增且有上界,从而,极限存在。设,则由得:,即:。八、已知,求解:所以:,得:,当时,不符合题意,舍去;所以,;此时,因:所以:。九、设是三次多项式,且,(1)求,; (2)求; (3)解:(1)因为,所以,;(2)由(1)可知,为多项式的两个根,设,由,解得:,所以,(3)。十、设在区间上连续,是两个任意给定的正数,证明存在,使得证:因为在区间上连续,且,所以,在连续,有闭区间上连续函数的性质,知:必,使在上,从而,对,有,即:,由介值定理得:,使。4