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1、一道方案求解题的奇思妙解 - 2010年中考数学试题27题（伊春市） 今年有幸再一次参加中考阅卷，酷暑难耐，五天的任务四天完，坐姿僵直了，我们的职业病-颈椎病，多数人都在复发，第一天结束后，我一想到那个工作室，脖子就低级反射.苦中有乐，我又一次大范围目睹了学生不同的解决问题的方法，是一个不可多得的向学生学习好机会，他们求异的火花，让我一次次震撼，又一次让我觉得我们的教育改革的必要了。平时我们很少给学生留有足够的空间、时间，很少认真听听他们的奇谈怪论，总是怕耽误教学时间，自己一个人越俎代庖，草草了结，好像自己讲完了学生就学会了。现在想想，自己讲的完美，学生学的可不一定完美，实际上，学习是一个身临
2、其境的、积极体会参与和创新的过程，如果你让学生重叙你的方法过程，学生能叙述个五六成就是好的了，正所谓听懂百分百，学会百分十，能灵活运用的只有百之一就不错了。中考，是学生尽其力，集其智，独立发挥展现才智的过程，才有了一题产生了十几种解法的多彩局面。我和数学同仁二人一起批阅第27题，是一道方案求解题，一人批阅过另一人复查，交替进行，一丝不苟到，分毫不差，到阅卷结束时，我们已经见识了的十几种解题方法，现例举如下，供同仁们开阔眼界。 27.（原题）为了迎接上海世博会，某经销公司准备购进A、B两种纪念品，若购进10个A纪念品5个B纪念品需1000元，若购进5个A纪念品3个B纪念品需550元。销售一个A纪
3、念品的利润为20元，销售一个B纪念品的利润为30元，请回答下列问题，两种纪念品的单价各是多少元。公司计划用10000元购进两种纪念品，并且购进A纪念品的数量不少于B纪念品的数量的6倍，但不多于B纪念品的8倍，公司的进货方案有几种？请求出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少。 第一问法1（算术方法）：购进10个A纪念品5个B纪念品需1000元，购进5个A纪念品3个B纪念品需550元，所以购进5个A纪念品2个B纪念品需（1000-550）=450元，所以购进一个B纪念品100元，一个A纪念品为（450-100）5=50元 法2:（代数方法）：设该商店购进一件A纪念品需要a元，购进一件B纪念品需
4、要b元，根据题意有： 解得 答（略）。代数法与算术法比较,优势显而易见,直接明了.到了初四还抱着小学的老本儿过日子,方法不知道升级换代,实际上，从算式到方程是数学方法的进步！ 第二问第二问的解法最多，最有创意，也是批卷时最需要仔细推敲的题目。法1：设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y件. 由x=200-2y解得20y25 y是正整数 共有6种进货方案 法2：也可由y=100- x 解得150x160 x是偶数 共有6种方案. 误写成5种方案，160-150=10或11种方案的同学不在少数，法2中，很多同学忽视只有x是偶数时，对应的y才是整数的细节,失去一分.但并不影响下一个问题的解决.
5、另外一些同学，把所有的方案一一例举，我想是没注意区分问题的细微不同问法，如果问“有哪些方案”就得一一列举，问“有几种方案”时，只要回答几种就可以了。 法3： 设购进B纪念品y件.10000-508y100y10000-506y解得：20y25 法3是用购买B纪念品的钱数列不等式组. 法4：设购进B纪念品y件.6y 8y解得：20y25 法4是用A纪念品的钱数列不等式组。 法6 设购进A纪念品x件。6 x8 解得： 150x160 x是偶数，有6种进货方案 法7：设购进B纪念品y件. 解得: 20y25 n为整数，有6种进货方案。 法8：设购进B纪念品y件.由6y50+100y=10000解得：
6、y=25由8y50+100y=10000解得: y=20由20y25 n为整数，可知有6种进货方案。 法9:设购进A纪念品共用x元，购进B纪念品用（100-x）元。 解得: 7500x8000购进A纪念品最少50050=150 件，最多 8000100=160件.购进B纪念品件数为整数，则购进A纪念品件数为偶数，x=150,152,154,156,158,160.因此有6种方案。 法10：设购进A纪念品x件，则购进B纪念品最少 件，最多 件。 解得：150 x 160x取其偶数，x=150,152,154,156,158,160共有6种方案。 法11：设购进A纪念品x件.则 解得: 150 x
7、 160x取偶数,共有6种方案。 法12：设 购进A纪念品m件，B纪念品n件。 当m=6n时 n=25 当m=8n时 n=20n为整数,共有6种进货方案。 法12：与前面的法1，列法相同，但解法有别,请仔细甄别,妙在其中。归纳第二问的解法，或用方程，或用不等式（组），或用方程不等式组做模型来接，由于所设未知数的角度不同，产生了形形色色列法和解法，智慧的火花异彩纷呈，这不是一位或几位老师能够做到的，是六千弟子数学思想的结晶，是九年数学学习过程中能力和方法的积淀。纵观各种解法，繁简不一，有空儿我们可以仔细推敲，去繁就简。实际上，考虑B纪念品件数的取值范围比考虑A纪念品的取值范围简单的多。X取整数时
8、y 是偶数，取整数不难想到，取偶数需要推敲，体现思维严谨性。做为身临战场的弟子们，他们时间有限，思想紧张，能迅速准确的找到解决的方法就足够了。 下面我们再看看学生们对于第三问的各种解答。法1：设总利润为w元，购进A纪念品x件，B纪念品y件. 由50x+100y=10000 得X=200-2yw=20x+30y=20(200-2y)+30y=10y+4000 （20 y 25）100，w随y的增大而减小当y=20时，w有最大值w =10204000=3800元当购进A纪念品160件，B纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润为3800元. 法2：由50x+100y=10000 得y= w= =5
9、x+3000 （150 x 160）50 w随x的增大而增大当x=160时 w有最大值w =5160+3000=3800元 法3： 接第二问法9，设购进A纪念品共用x元，总利润为w元.W= （7500x8000） 0 w随x的增大而增大当x=8000时，w = 8000+3000=3800所以 法4：接第二问的法12. 设总利润为w元，购进A纪念品m件，B纪念品n件. W=20m+30n当m=6n时，n=25 w=20625+3025=3750当m=8n时,n=20 w=20820+3020=3800因此，当购进A纪念品160件，B纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润为3800元. 法5：
10、 A纪念品进价50元/件,利润20元/件； B纪念品进价100元/件,利润30元/件；每进1件B纪念品，则少进2件A纪念品，利润减少10元，因此，应少进B纪念品，已取得最大利润.由于20 y 25当y=20时，x=200220=160,此时，利润最大为20160+3020=3800元因此，当购进A纪念品160件，B纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润为3800元. 法6: 用枚举法，可以分别算出6个方案的利润，并加以比较，得出结论；也可以，把方案按次序排好算出首尾两个方案的利润，并加以比较得出结论；还可以先算出头两个方案的利润，预测以下各个方案的利润是递增还是递减，马上就可确定利润最大的方案并求出最大利润。其中枚举法最简单. 伊 春 区 第 八 中 学 李玉清 2010/7/21
