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1、目 录摘要2Abstract3引言41.方程思想的涵义51.1方程51.2方程思想51.3方程思想的步骤51.4方程思想的两个重要方面51.5方程思想是一种源于解决应用问题的思想62.方程思想的应用62.1方程思想数学学科中的应用92.2方程思想在物理学科中的应用92.3方程思想在配平化学方程式中的应用123.方程思想的学习和教学133.1方程思想的学习133.2方程思想的教学14参考文献17方程思想的应用与教学摘要:方程思想是一种重要的数学思想，是指在分析问题的数量关系时，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式。重点就
2、是化未知为已知的思想，关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。它在多门学科中都有广泛的应用，因此我们要让学生逐步掌握这种数学思想方法，就必须在数学教学中逐步进行有目的的引导和培养。关键词：方程思想；应用；教学The Equation of the Application of the Thought and teachingAbstract：Equation thinking is a kind of important mathematical ideas, which means in its analysis of the question of the quantit
3、ative relationships, the issue of the known and unknown quantities of the quantitative relationships between the amount established by the appropriate setting element equation or equation group, and then solve the equation (group) so that the problems can be resolved by such a way of thinking. Focus
4、 on the translation of the unknown to the known, and the key is to use a known conditions or formula, theorem, known conclusions structure equations (group). It has a wide range of applications in several disciplines, and therefore we want to have the students gradually master this mathematical thin
5、king, it must be in Math Teaching, step-by-step with the aim of the boot and training.Key Words: Equation thinking; Adhibition; Teaching引言数学家笛卡尔曾设想一个解决所有问题的通用方法：第一步：将任何问题转化为数学问题；第二步：将任何数学问题转化为代数问题；第三步：将任何代数问题化归为单个方程的求解；第四步：讨论方程（组）的问题，得到解之后再对解解释。通用方法中所体现的方程观点就是笛卡尔模式。这就是所谓的“万能方法” 方程思想。方程的思想，是对于一个问题用方程
6、解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。在中学，方程知识贯穿于初一到高三各年级教材当中，涉及方程的有关概念、方程的解法、方程根与系数的关系、方程的化简和讨论及方程的应用。学生特别是要学会从对问题的数量关系的分析入手，运用数学语言和数量关系转化为方程，从而使问题得以解决。1.方程思想的涵义1.1方程方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算
7、）之间相等关系的一种等式，是含有未知数的等式（通常设未知数为x），通常在两者之间有一等号“=”。方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。广泛应用于数学、物理等理科的运算。1.2方程思想方程思想是分析实际问题中的数量关系，然后运用数学的符号化语言将这种数量关系抽象为方程模型，通过解方程或方程组，使问题得以解决的一种数学思想方法。方程的思想，是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。方程思想是动
8、中求静，研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。1.3方程思想的步骤方程思想在解决应用题时，就像万能钥匙是关键所在，特别在初一刚接触用方程在解决应用题时，大部分同学都感觉无所适从，不知所措，其实，解决应用题规律也有一定步骤，如下：分析实际问题 建立方程模型 解方程 解问题1.4方程思想的两个重要方面在了解了方程思想的步骤后，还要有必要了解一下方程思想的两个重要方面。第一，建模思想：用符号将相互等价的两件事情联结，等号的左右两边等价。第二，化归思想：高次化归为低次；在具体化归过程中有加减消元化归和代入消元化归两种方式。1.5方程
9、思想是一种源于解决应用问题的思想方程这个名词，最早见于我国古代算书九章算术，书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章我国古代数学家刘徽注释九章算术说，“程，课程也二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程，故方程思想是一种源于解决应用问题的思想。具体表现为： 首先，问题中的数量关系可用等式“直观”表示。其次，实际问题归结为解方程。最后，方程的解法理论：未知量与已知量地位同等，可以参加运算；方程是用不同的方式表示同一个量的条件等式
10、；方程根据平衡原理，进行同解变形。2.方程思想的应用在中学，方程知识贯穿于初一到高三各年级教材当中，涉及方程的有关概念、方程的解法、方程根与系数的关系、方程的化简和讨论及方程的应用。学生特别是要学会从对问题的数量关系的分析入手，运用数学语言和数量关系转化为方程，从而使问题得以解决。2.1方程思想数学学科中的应用方程思想是中学数学最常用的思想方法之一，随处可见。2.1.1方程思想在应用题问题中的应用今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问：鸡兔各几何？解：设有x只鸡头，y只兔头，根据题意得：解得： 答：鸡有23只，兔有12只。2.1.2方程思想在解等腰三角形问题时的应用 初二时，我们学习了有关等
11、腰三角形的定理与规律及在实际生活中的应用，下面是方程思想在解等腰三角形问题时的应用的例子。 例:如图，在ABC中，AB=AC,点D在AC边上，且BD=BC=AD求A 的大小 解：因为AB=AC，故ABC=C.又因BD=BC,故BDC=C.而BD=AD,故A=ABD.如果设A=,则ABC=DC=A+ABD= 2.所以C=BDC=2ABC=C =2在ABC中，A+ABC+C=, 则 ,解得=36. 2.1.3方程思想在求函数值域时的应用函数问题常以与其他知识点相结合的综合题形式出现，而函数的值域问题却是联系各种知识点的纽带。求函数值域的方法很多，其中，利用方程思想来求函数值域是一种常用的方法。例：
12、求函数 的值域。2.1.4方程思想在相似三角形中的应用 只要你掌握了方程思想的精髓，有关相似三角形的求边长问题便可迎刃而解。例：如图，在ABC中，DEBC,DE=2，BC=4，AD=3，求AB长 解：因为DEBC 所以ADEABC，所以 即 2.1.5方程思想在空间向量中的应用例：点A（1,0,0）,B(0,1,0), C（0,0,1），求平面ABC的法向量则：即 即所以平面ABC的一个法向量可以是（1,1,1）；。2.1.6方程思想在立体几何中的应用例：如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=a,(a0),PA平面ABCD，且PA=1，问BC边上是否存在点Q,使得PQQD，并说明理由
13、 设，则，于是，即，其判别式。当即时，方程有两解，即;当当2.1.7方程思想在排列组合中的应用例：在某班学生中，选出4个组长的不同选法有m种，选出正副组长各一名的不同选法有n种，若m:n=13:2，求该班的学生人数。2.1.8方程思想在数列中的应用例：已知三个数20，50,100分别加上相同的常数后，新得到的三个数成等比数列，求公比q的值解：设20,50,100都加上以后，得到20+，50+，100+，它们成等比数列，所以 。 解这个方程，得=25所以三个新数为45,75,125，公比为 。2.2方程思想在物理学科中的应用在物理学习中如果以单一的定势思维来思考、解决问题常常会碰壁。在教育、教学
14、活动中，我们若能充分运用多种解题方式，对同一问题、用不同方法进行全方位的思考，就可引导学生克服孤立思考问题的习惯和消极的心理定势，提高学生解决问题的能力。“它山之石，可以攻玉”，在很多物理情景下，数学是一种极好的应用工具。将数学方法应用在物理学习中，变换思考角度，可以更为灵活地解决有关物理问题，扩展学生思路，培养学生处理问题的能力。许多学生感觉物理难学（包括数学中的应用题），那是他们还未对物理学进行深度思考总结，其实高中的物理题就是由基本公式参与构成的解方程组问题。只要掌握列方程解题的基本步骤，再难的物理题都可以化为解方程组的问题，从而实现学生思维上质的突破，不再对应用题惧怕，站在战略的角度即利用方程组思想使之养成良好的解题习惯与必胜的信心，形成统一的解题思路与技巧，实现战略战术的完美整合。先看下面的例题：例题一：宇航员在某行星上从高度32m处自由释放一重物，测得在下落最后1s通过的距离为14m。则重物下落的时间和该星球的重力加速度分别是多少？解析：设重物下落的时间为t，该星球的重力加速度为g，已知h=32m, =14m,由题意列方程得： ， 。 这里仅仅利用了自由落体的最基本、最简单的公式，学生很容易理解并掌握。例题二：一
