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1、现 代 接 触 动 力 学其中为刚体的惯性张量，代表所有作用在刚体上的力之和，包括主动力矩之和和理想约束力矩之和。动量力矩方程是相对一个确定的参考点而建立的。通常这个参考点取为刚体的质心。如果参考点变动，式（24）中所有的量必须相应地改变。虽然理想约束力和力矩由于运动方向正交而不影响物体的运动，但是他们却出现在动量和动量守恒方程中。虚功原理则指出理想约束力和力矩的虚功为零。即 （225）在静平衡状态下主动力的虚功也为零，这个关系式能被用于确定静平衡的条件。拉格朗日形式的达朗伯原理相应于动力学问题的虚功原理，利用式（223）和（224）求解和，并将它们带入式（225）中得 （226）用广义坐标上
2、式可转化为 (227)由的任意性可导出完整约束多刚体系统的运动微分方程 （228）其中为对称正定的质量矩阵，代表广义的陀螺力、离心力和科氏力，代表主动作用力。利用广义坐标，动量和动量矩守恒定律也可用分块矩阵形式加以描述为 （229）其中质量和转动惯量分块对角矩阵； 全局雅克比矩阵； 陀螺力，离心力，科氏力； 主动作用力和力矩； 约束作用力和力矩。牛顿- 欧拉方程式（229）中出现的约束作用力和力矩可通过左乘全局雅克比矩阵而消除，因为根据达朗伯原理可导出。左乘矩阵后，牛顿-欧拉方程式（229）变成运动方程式（228）。 简洁的运动方程式以及上述的推导只适用于完整约束力多刚体系统。对于一般的约束方
3、程与速度有关的非完整约束多刚体系统运动学微分方程可写为 （230）动力学微分方程类似于（228），即 （231）23 多刚体系统计算软件和求解过程多刚体系统的建模通常是借助于计算机来实现的。这里只简单地介绍一些斯图加特大学B所开发的计算机软件。在软件包NEWMOD（参见Eberhard Neerpasch 1996）中，简单的基本元素诸如坐标系统，支座和刚体等能通过交互界面直观地描述，见图23。系统的若干基本元素在软件包NEWMOD中被装配在一起，然后输入到自动生成运动微分方程的符号推导软件包NEWEUL（参见Eberhard 1979）中，为便于应用求解常微分方程组的标准软件，个二阶微分方程
4、组被转化为个一阶微分方程组 （232）通过对时间积分可获得广义位置和速度在离散时间点上的数值，动画显示软件包如NEWANIM(参见Kberhard1994)可形象地表示这些数值结果，展示系统的运动过程。运动微分方程亦可进一步地用于分析，比如导出的带有符号的运动微分方程可运用计算机代数系统软件包MAPLE进行线性化。用软件系统MATLAB还可为线性化的系统配置控制器。24 简单的多刚体系统示例运动方程的推导可通过示例加以说明。一个质量为 ，标号为1的刚体在一个倾斜角为的光滑斜面上向下滑动，见图224；另一个摆长为，质量为，标号为2的单摆围绕着刚体1的质心以角速度匀速转动，该系统只有一个自由度，广
5、义坐标可选为，矢径列阵为 （233）图2.4 简单的多刚体系统示例雅克比矩阵为 （234）由式和可得相对速度和相对加速度 （235）主动作用力只有重力 （236）根据式（227），运动方程中式（228）出现的各项一次变为 （237） （238） （239）运动方程为 （240）设初始条件，参数通过求解微分方程式（240），图（25）展示广义位移和广义速度随时间的变化规律。图26动画显示该系统的运动过程。在图26中不同的时间的运动状态重叠在一幅图中，以便于对整体的运动有更清晰的直观认识。尽管这个例子和第5章中56节所举例的带有接触的多体系统看上去十分类似，然而约束的本质却大相径庭。这里刚体1和斜
6、面的约束是双面约束，不仅刚体1不可能脱离斜面，而且斜面也允许承受拉应力。而在56节中所讨论的接触问题则涉及单面约束，刚体1允许脱离斜面，并且在刚体1和斜面的接触过程中，斜面不允许承受拉应力。 3 线性有限元法有限元法可看作为求解偏微分方程的数值计算方法。其基本原理是将几何形状复杂的求解域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体。尽管现代有限元法起源于结构力学，但如今它已在许多计算领域内如流体力学、热传导、空气动力学中得到广泛的应用。 接触问题源于固体力学。计算接触问题时通常是先引进固体力学中线弹性理论的基本方程，然而讨论求解这些基本方程的近似解法，最后常用加权余量法和积分弱解形
7、式建立可解的线性方程组。由于几何形体常离散成几种基本类型的单元的组合体，人们只需要对这几种基本的单元进行分析，建立单元刚度矩阵和质量矩阵，再考虑单元的应力、应变以及边界条件，然后将所有的结构单元组装在一起。接触问题总是非线性的，然而线性有限元的许多部分可以直接地或通过修正运用于非线性有限元计算。这一章介绍的线性有限元法将作为非线性有限元法的基础。31 弹性理论基础连续体力学和弹性理论中一些基本概念对理解所研究的偏微分方程是必不可少的。许多专著如Chadwick 1976和对Gurtin 1981此有着详细地论述。一些有限元法书籍如Burnett 1987、Bathe 1990和Raddy 19
8、93对此也有着简要地说明。本书在符号和结构上则是借用Altenbach Altenbach 1994和Papadopoulos 1996b贵弹性力学的描述。在弹性力学中应力、应变以及本构关系至关重要。图示意一个承受主动作用力和支座约束反力的物体以及所选择的坐标系。主动作用力可分为集中力、面力和体力。图3.1 承受主动作用力和约束反力的物体 在物体内任一点取法线方向为的微元面积，如果在面积微元上作用有内力，令趋于零，则得作用于点处法线为的面元上的柯西应力矢量，即 （31）在点的领域内取出一个四面体微元，其中三个面的外法线方向与坐标轴反向，斜面的外法线方向为，由四面体上力的平衡条件可推导出 （32
9、）其中为柯西应力张量。对角元素称为法向应力，非对角元素为剪应力。由式（32）可计算点处任一法线上的应力矢量，因此点的应力状态由唯一确定。尽管描述应力状态的物理量是唯一的，但的表述则与坐标系有关。通过坐标变换，可找到唯一的一个主坐标系，在主坐标系里，所有的剪应力为零。对静力学问题，在任意点的领域内取出无限小的正六面体微元，利用力的平衡方程导出 （33）其中为作用在微元上的体力。应用爱因斯坦求和约定，上式可简写为 （34） 对于动力学问题，把惯性力当作体力，则可由式(33)导出运动微分方程 （35）其中为密度，为位移向量。运用动量矩方程可导出 (36) 因此应力张量是对称的，只有6个独立的元素 。
10、式(36)用矩阵形式可表达为 (37) 为描述物体的变形，观察物体在空间所占的构形是有益的，见图32。对静力学问题而言，物体在未变形前在空间所占的初始构形为，在载荷作用变形后在空间所占的现时构形为。对动力学问题而言，描述物体的初始状态，而则反映物体在时刻的现时状态。物体上的任意一点从初始时刻由位置运动到时刻处于位置，这前后两点之间的矢径称之为点的位移矢量。如果知道初始构形任一点的位移矢量，这点的位置则能唯一确定为 (38) 图3.2 物体的初始构形和现时构形这里，位移矢量既包括物体的刚体的平动和转动，又包括物体的变形。变形可由不同的量来描述。本书将运用相对于现时构形的格林-拉格朗日应变张量。在
11、直角坐标系中，该张量定义为 (39)其中上标“”表示求导下相对于现时构形。应变张量对应于零变形。应变张量的对角元素为 （310）利用位移梯度，应变张量亦可表示为 （311）相对于初始构形的位移梯度矩阵，即 （312）在连续力学中同样是一个重要的特征量，它和变形梯度矩阵只相差一个单位矩阵，有 （313）相对于初始构形的格林-拉格朗日应变张量对于位移来说是非线性的，类似于式（39），该张量定义为 （314）它也可以用变形梯度矩阵和位移来表达为 （315）上标“”表示求导相对于初始构形，一般来说，。通常应用的是相对初始构形的格林-拉格朗日应变张量，因此我们用符号来表示。在线性理论中，非线性项被略去，因此对小变形来说，即，相对于初始构形和相对于现时构形的导数近似相等，即 (316)对应变张量则有 (317)小变形应变张量相应于位移梯度 (318)的对称部分，即 (319) 它包含6个独立的元素。小变形位移梯度的非对称部分 (320)
