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1、一阶偏微分方程基本知识一阶偏微分方程基本知识这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，由于它们都能够化为常微分方程的首次积分问题，因此我们先来介绍常微分方程的首次积分。一阶常微分方程组的首次积分1.1首次积分的定义从第三章我们知道，n阶常微分方程ynfx,y,y,yn1，1.1）在变换yy,yy,L,ynyn1,121.2）之下，等价于下面的一阶微分方程组dy1f1x,y1,y2,L,yn,dxdy2f2x,y1,y2,L,yn,dxMMMMdynfnx,y1,y2,L,yn.dx（1.3）在第三章中，已经介绍过方程组（1.3）通解的见解和求法。可是除了常系数线性方程组外
2、，求一般的（1.3）的解是极其困难的。可是在某些情况下，能够使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先经过例子说明“可积组合”法，尔后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的见解和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（1.3）的问题。先看几个例子。例1求解微分方程组/-WORD格式-可编写-dxyxx2y21,dyxyx2y21.dtdt（1.4）解：将第一式的两头同乘x，第二式的两头同乘y，尔后相加，获取xdxydyx2y2x2y21，dtdt1dx2y2x2y2x2y21dt。2这个微分方程对于变量t和x2y2是能够分别，因此不难求得其解为x2y21e2tC1，x2y2（1.5）C1为积分常数。（1
3、.5）叫做（1.4）的首次积分。注意首次积分（1.5）的左端Vx,y,t作为x，y，和t的函数其实不等于常数；从上面的推导可见，当xx(t),yy(t)时微分方程组（1.4）的解时，Vx,y,t才等于常数C1，这里的常数C1应随解而异。由于式（1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（1.5）不足以确定它的解。为了确定（1.4）的解，还需要找到其他一个首次积分。将第一式两头同乘y，第二式两头同乘x，尔后用第一式减去第二式，获取ydxxdyx2y2，dtdt即xdyydxx2y2，dtdt亦即darctanyx。1dt积分得-WORD格式-可编写-arctanyC2，tx（1.6）其中C2为积分常
4、数。利用首次积分（1.5）和（1.6）能够确定（1.4）的通解。为此，采用极坐标xrcos,yrsin，这样由（1.5）和（1.6）推得112tC1,tC2.r2e或r1,C2t.1C1e2t因此我们获取方程组（1.4）的通解为xcosC22tt，ysinC2t2t.1C1e1C1e1.7）duvw,dt例2求解微分方程组dvwu,dtdwuv.dt1.8）其中0是给定的常数。解利用方程组的对称性，可得dudvdw0,uvwdtdtdt进而获取首次积分u2v2w2C1,（1.9）其中积分常数C10。同样我们有2udu2vdv2wdw0,dtdtdt由此又得另一个首次积分2u22v22w2C2,
5、-WORD格式-可编写-（1.10）其中积分常数C20。有了首次积分（1.9）和（1.10），我们就能够将u和v用w表示，代入原方程组（1.8）的第三式，获取dwaAw2bBw2,dt（1.11）其中常数a，b依靠于常数C1和C2，而常数A0,B0.注意（1.11）是变量可分别方程，分别变量并积分获取第三个首次积分dwtC3,(aAw2)bBw2（1.12）其中C3是积分常数。由于方程组（1.8）是三阶的，因此三个首次积分（1.9）、（1.10）和（1.12）在理论上足以确定它的通解ut,C1,C2,C3,vt,C1,C2,C3,wt,C1,C2,C3.可是由于在式（1.12）中出现了椭圆积分
6、，因此不能够写出上述通解的详细表达式。现在我们考虑一般的n阶常微分方程dyifix,y1,y2,yn，i1,2,n,dx1.13）其中右端函数fix,y1,y2,yn在DRn1内对x,y1,y2,L,yn连续，而且对y1,y2,yn是连续可微的。定义1设函数VVx,y1,y2,L,yn在D的某个子域G内连续，而且对x,y1,y2,L,yn是连续可微的。又设Vx,y1,y2,L,yn不为常数，但沿着微分方程（1.3）在地区G内的随意积分曲线:y1y1x,y2y2x,L,ynynxxJ-WORD格式-可编写-函数V取常值；亦即Vx,y1x,y2x,LynxC常数xJ，或当(x,y1,y2,L,yn
7、)时，有Vx,y1,y2,L,yn=常数，这里的常数随积分曲线而定，则称Vx,y1,y2,L,yn=C（1.14）为微分方程（1.13）在地区G内的首次积分。其中C是一个随意常数，有时也称这里的函数Vx,y1,y2,L,yn为（1.13）的首次积分。比方（1.5）和（1.6）都是微分方程（1.4）在某个地区内的首次积分。这里对地区G有限制，是要求首次积分（1.5）和（1.6）必定是单值的连续可微函数。因此地区内不能够包括原点，而且也不能够有包括原点的回路。同理，式（1.9）、（1.10）和（1.12）都是方程（1.8）的首次积分。对于高阶微分方程（1.1），只需做变换（1.2），即可以把它化成
8、一个与其等价的微分方程组。因此，首次积分的定义能够自然地移植到n阶方程（1.1）。而其首次积分的一般形式能够写为Vx,y,y,L,yn1C。（1.15）比方，设二阶微分方程组d2x2，dt2asinx0a0为常数用dx乘方程的两头，可得dtdxd2x2dx0，dtdt2asinxdt尔后积分，获取一个首次积分-WORD格式-可编写-1dx2a2cosxC。2dt一般的，n阶常微分方程有n个独立的首次积分，若是求得n阶常微分方程组的n个独立的首次积分，则可求n阶常微分方程组的通解。1.2首次积分的性质和存在性对于首次积分的性质，我们不加证明地列出下面的定理。定理1设函数x,y1,y2,L,yn在
9、地区G内是连续可微的，而且它不是常数，则x,y1,y2,L,ynC1.16）是微分方程（1.13）在地区G内的首次积分的充分必要条件是xf1Lfn0y1yn1.17）是对于变量x,y1,y2,L,ynG的一个恒等式。这个定理实质上为我们供应了一个鉴别一个函数可否是微分方程（1.13）首次积分的有效方法。由于依照首次积分的定义，为了鉴别函数Vx,y1,y2,L,yn是否是微分方程（1.13）在G内的首次积分，我们需要知道（1.13）在G内的所有积分曲线。这在实际上是由困难的。而定理1避免了这一缺点。定理2若已知微分方程（1.13）的一个首次积分（1.14），则能够把微分方程（1.13）降低一阶。
10、设微分方程组（1.13）有n个首次积分ix,y1,y2,L,ynCii1,2,L,n，（1.18）若是在某个地区G内它们的Jacobi队列式-WORD格式-可编写-D1,2,L,n0，Dy1,y2,L,yn（1.19）则称它们在地区G内是相互独立的。定理3设已知微分方程（1.13）的n个相互独立的首次积分（1.18），则可由它们获取（1.13）在地区G内的通解yiix,C1,C2,L,Cni1,2,L,n，（1.20）其中C1,C2,L,Cn为n个随意常数（在赞同范围内），而且上述通解表示了微分方程（1.13）在G内的所有解。对于首次积分的存在性，我们有定理4设p0x0,y10,L,yn0G，则存在p0的一个邻域G0G，使得微分方程（1.13）在地区G0内有n个相互独立的首次积分。定理5微分方程（1.13）最多只有n个相互独立的首次积分。定理6设（1.18）是微分方程（1.13）在地区G内的n个相互独
