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1、第5讲空间几何体的外接球空间几何体的外接球是高中数学的重难点我们可以通过对几何体的割补或寻求几何体外接球的球心两大策略求解此类问题例1半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为()A.6 B.2C2 D512答案B解析将半球补成球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体恰好是球的内接长方体，那么这个长方体的对角线就是它的外接球的直径设正方体的棱长为a，球体的半径为R，则(2R)2a2a2(2a)2，即Ra，V半球R33a3，V正方体a3，V半球V正方体a3a32，故选B.例2已知在三棱锥SABC中，ABBC，ABBC2，SASC2，二面角BACS的大小为
2、，则三棱锥SABC的外接球的表面积为()A. B. C. D.答案D解析如图，取AC的中点D，连接BD，SD，则BDS，AC2，BD，SD.过点D作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，设球的半径为R，连接OB，OS，可得OD2R2()2，在OSD中，ODS，利用余弦定理可得R2R22()22，解得R2，所以其外接球的表面积为4R2.例3正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16 C9 D.答案A解析如图，正四棱锥PABCD的底面中心为H.在底面正方形ABCD中，AH，又PH4，故在RtPAH中，PA3.则由正四棱锥的性质可得，其外接球的
3、球心O在PH所在的直线上，设其外接球的直径为PQ2r.又A在正四棱锥外接球的球面上，所以APAQ.又AHPH，由射影定理可得PA2PHPQ，故2rPQ，所以r.故该球的表面积为S4r242.解决此类问题的关键在于利用几何体的结构特征确定球的球心，利用球的截面的性质，球心和球的截面的中心连线垂直于截面结合相关几何量之间的数量关系可确定球心1已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B. C. D.答案B解析球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的，球的半径为1，则圆柱底面圆的半径r，故该圆柱的体积为V21.2在三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAPB
4、PC3，PAPB，则三棱锥PABC的外接球的体积为()A. B. C27 D27答案B解析因为PAPBPC，ABC是正三角形，所以PABPACPBC，由PAPB知，PAPC，PBPC，以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(图略)，则三棱锥PABC的外接球可看成正方体的外接球，因为正方体的体对角线长为3，所以其外接球的半径为R，外接球的体积为VR3.故选B.3已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_答案36解析如图，SC为球O的直径，O为球心，因为SAAC，所以AOSC，同理
5、SBBC，所以BOSC，BOAOO，所以SC平面ABO.又平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，AOSC，AO平面SAC，所以AO平面SBC，所以AOBO.设球的半径为R，则AOBOSOCOR，所以V三棱锥SABC2SABOSO2AOBOSOR39，所以R3，所以球O的表面积为S4R236.4类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念，已知球O的一个内接四面体ABCD中，ABBC，BD过球心O，若该四面体的体积为1，且ABBC2，则球O的表面积的最小值为_答案38解析在RtABC中，由ABBC，且ABBC2，得2ABBC2，得ABBC1，当且仅当ABBC1时，ABBC取最大值1，BD过球心O，且四面体ABCD的体积为1，三棱锥OABC的体积为，则O到平面ABC距离的最小值为3，此时三角形ABC的外接圆的半径为，则球O的半径的最小值为，球O的表面积的最小值为4238.
