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1、有效教学是当前教学研究的热点问题，我认为有效教学有两个层面：一是通过教师的教，学生学得更多、更快、更好，这是直接促进，是立竿见影的，能够即时显现的，可量化的。二是通过教师的教，学生学会了数学思考，丰富了学习方式，提升了学习潜力，这是间接促进，是隐性的，难以量化的，指向未来，着眼于可持续发展，注重发展后劲的。显然，直接促进，注重教学的短效；间接促进，注重教学的长效。从学生一生的发展而言，我觉得数学教学不可忽视对第二层面的思考，应着力于学生学习后劲的培养。一、处理好数学知识与数学思考的关系数学课程标准（实验稿）明确指出：数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利
2、于其他三个目标的实现。教师在教学时必须善于挖掘数学知识与数学思考的结合点，将数学思考渗透其中。例如，苏教课标版四上找规律一课的教学，有位教师在学生理解“一一间隔排列”概念后，引导学生仔细观察情境图，回答下面的三个问题，并列表整理。（1） 兔子晒了多少块手帕？用了多少个夹子？（2） 有几个蘑菇？有几只兔子？（3） 有多少块篱笆？有多少根木桩？后排夹子10手帕9中间小兔8蘑菇7前排木桩13篱笆12当学生通过数据整理，很容易就发现夹子比手帕多1、小兔比蘑菇多1、木桩比篱笆多1，也就是两种物体的个数都是相差1。如果例题教学就此打住，那就仅仅是停留于知识层面的教学，没有发挥数学知识理应承载数学思考的作用
3、。这位教师在学生观察、发现三对具体的一一间隔排列的物体个数特征的基础上，进一步引导学生进行归纳、概括，最后让学生用自己的语言表述出：一一间隔排列的两种物体，摆在两端的物体个数比中间的多1，或者说摆在中间的物体个数比两端的少1。仅此一引导，教学的境界截然不同，学生就不仅仅停留在就事论事的层次，而进行了充分的抽象概括，这时的教学就上升为数学思维训练层面了。接着，教师在应用拓展环节还设计了层次性练习：1、公路一侧有25根电线杆,每两根电线杆之间有一块广告牌,公路这一侧一共有几块广告牌呢?为什么?2、木工锯木条，每次锯一段，一根木条锯3次,锯成多少段?你是怎么想的? 如果要求锯成6段,要锯几次?为什么
4、?8段呢? n段呢? 3、池塘的一边栽15棵柳树,每两棵柳树之间栽一棵桃树,那一共要栽几棵桃树? 如果沿着池塘的一周栽15棵柳树,每两棵柳树之间栽一棵桃树,那一共要栽多少棵桃树呢? 4、一串蓝白间隔排列的珍珠项链,蓝色的珠子有50粒,白色珠子可能有几粒? 5、小刚从一楼走到六楼,每走一层楼梯要20秒,那么小刚到六楼要走多少秒? 对每道练习进行反馈评价时，教师突出学生解题过程的思维展示，强调“为什么？”“ 你是怎么想的？”。并巧妙地将一一间隔排列的物体个数之间的三种可能：“a-b=1、a=b、b-a=1”蕴藏习题中，学生在解答具体问题时，逐步明确了一一间隔排列物体个数之间的关系，对规律的运用也走
5、向灵活。综观全课的教学，教师比较好地将数学知识与数学思考相整合，学生在发现一一间隔排列物体个数的规律过程中，经历了观察（情景图）、比较（数据表）、归纳概括（个数的规律）、判断推理（各个具体的间隔排列的问题）的思维过程，实现了合情推理与演绎推理能力的发展与提高。二、处理好数学知识与学习方式的关系数学课程标准（修订稿）指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动地和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。教师在教学时必须依据数学知识和学生年龄特点寻找合适的学习方式，让学生经历学习
6、过程，掌握学习方法。例如，人教义教版五下能化成有限小数的分数的特征一课的教学，有位教师先通过师生互动游戏，激发学生探究的兴趣，然后趁热打铁追问：“每个分数都有分子和分母，它能否化成有限小数究竟与哪个部分有关呢？”鼓励学生大胆猜测，结果有的认为可能与分子有关，有的认为可能与分母有关。接着，教师让认为可能与分子有关的学生分小组尝试探究分数：、化成小数的结果。要求初步求证：如果分母不变，分子变化，所得的分数还能化成有限小数吗？这说明了一个分数能不能化成有限小数与分子有没有关系？同时，教师让认为可能与分母有关的学生分小组尝试探究分数：、化成小数的结果。要求初步求证：如果分子不变，分母变化，所得的分数还
7、能化成有限小数吗？这说明了一个分数能不能化成有限小数与分母有没有关系？通过小组探究，学生发现一个分数能不能化成有限小数与分子没有关系，而与分母有关系。教师再利用与分母有关的小组探究的素材，让学生认真观察、比较能化成有限小数与不能化成有限小数的两组分数，其分母分解质因数后，质因数有什么特征？ 能化成有限小数的质因数是： 不能化成有限小数的质因数是： 2、5 3、7、11、13、17、19、23 4 =22 6 =23 8 =222 9 =33 10=25 12=223 16=2222 14=27 20=225 15=35 25=55 18=233 经过观察、比较，学生在学习小组里归纳概括出：能化
8、成有限小数的分数，其分母分解质因数后只含有2和5，不能化成有限小数的分数，其分母分解质因数后含有2和5 以外的质因数。最后，教师再通过组织练习，不断完善了学生对能化成有限小数的分数特征的认识。这位教师的教学能根据本课知识的可探究性和五年级学生的合作交流能力，比较成功地糅合了传统学习方式和新课程倡导的新学习方式。就全课来看，既有学生个体的观察、猜测、计算、验证、推理、判断等自主探索活动，又有小组合作交流、补充完善、归纳概括的过程，还有教师必要的激趣、铺垫、引导、完善。这里的自主探索有充分的思考时间，小组合作交流有相应的挑战难度，再加上教师于疑惑处的点拨、茫然处的指点，学生经历了探索发现能化成有限
9、小数的分数特征的全过程，不仅“知其然”，而且“知其所以然”。同时，学生也于获得知识的过程，领悟了猜测验证、列举判断、归纳推理等有效的学习方法。三、处理好中小学数学学习的衔接关系 小学数学教师不仅要精通小学阶段的教学，还必须熟悉初中的数学内容，着眼于学生发展的需要，处理好中小学数学在数学知识、数学思想方法、数学思维方式等层面的衔接关系。首先，小学教师要善于挖掘知识间的内在联系，从联系、发展的角度分析与处理教材，为学生未来的学习作好知识上的孕伏和能力上的准备。例如：圆的认识的教学，在小学阶段虽然不讲“圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点的轨迹”，但教师在引入课题部分可借助课件先出示一个圆形钟面，
10、接着隐去钟面，只剩下一根秒针，随着秒针“滴答、滴答”地旋转，画面上出现了点的轨迹组成的圆。这样教学就很好地处理了概念阶段性与发展性的关系。通过原型启发，向学生呈现了一个动态变化的圆，在他们的脑中留下了“点的轨迹”这样的印象，为学生在第三学段学习圆的定义作了知识上的铺垫和能力上的衔接。其次，小学教师要善于挖掘小学教材中蕴含的集合、对应、数形结合、转化、单位、函数、极限等数学思想和分析法、综合法、归纳法、列举法、倒推法等数学方法。并且有意识地加以引导和渗透，使学生在潜移默化中领会数学方法、感悟数学思想。例如：平行四边形面积计算的教学，教师引导学生将平行四边形转化成长方形进行计算，归纳面积计算公式，就渗透了转化思想。转化思想的确立，使学生对相关领域的知识有一种整体的领悟力和迁移力。最后，小学教师要了解小学生在数学思维方式上倾向于程序思维，初中生在数学思维方式上倾向于关系思维。介于程序思维与关系思维之间的是准变量思维，它的核心是利用算式中所隐含的代数关系和结构，对计算问题进行“代数的思考”。小学教师应把握好程序思维与关系思维的联系与区别，为学生提供准变量思维的素材，为学生的数学思维从程序思维发展到关系思维起到桥梁和纽带作用。
