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1、【2013年中考攻略】专题 2:待定系数法应用探讨在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数（或参数）来表示这样的结果，这些待确定的系数（或参数），称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学 教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。比较系数法 通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“已知x2_3=（ 1鼻）x2+ Bx +
2、C,求A , B, C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比 较后，就可得到 A , B, C的值。这里的A , B , C就是有待于确定的系数。代入特殊值法 通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如： 点（2,- 3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2, - 3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。消除待定系数法 通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知b = 2，求_b的值”，解答此题，只需设定 =k，贝V a=3k，
3、b=2k，代入b即可求解。这a 3 a ba3a b里的k就是消除的待定参数。应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析 式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据 右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（
4、组），解出方程（组）即可求得答案。典型例题：例：（2011云南玉溪3分）若x2 6x k是完全平方式，则 k=【】A . 9B9C. 9D .出【答案】A。【考点】待定系数法思想的应用。【分析】 设 x? +6x +k= (x+A ),贝V x2 +6x +k=x2 +2Ax +A2 ,2A=6A=3A2=k=k=9故选A。练习题：1. （ 2012江苏南通3分）已知x2 + 16x + k是完全平方式，则常数 k等于【】A . 64B. 48C. 32D. 1622. （ 2012贵州黔东南4分）二次三项式x - kx+9是一个完全平方式，则k的值是 。3. （ 2011江苏连云港3分）计算
5、（x + 2） 2的结果为x 2+ + 4,则“D中的数为【】A . - 2B . 2C . - 4D . 44. （ 2011湖北荆州3分）将代数式x2 4x -1化成（x - p）2 q的形式为【】2 2 2 2A. （x -2）3B. （x 2） -4C. （x 2） -5 D. （x 4）4二.待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。典型例题:例：（2012四川凉山4分）已知b=5，则 a的值是【】a13a b2394A .B.C.D.3249【答案】D。【考点】比例的性质。【分析
6、】.b _ 5设b _5=k，贝U b5k,a 一 ba13k，把a, b的值代入，得,a 13a 13a + ba - b 13k - 5k8k4。故选D。a b 13k 5k18k9练习题:a b5a 2b,，+1. （2012北京市5分）已知一二 0，求代数式（a-2b）的值。23（a+2b）（a-2b）oQK2. （ 2011四川巴中3分）若-，则-=。2a b 3a三.待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x3 6x2+11x 6, 3x2
7、5x 2y2 x 94，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法）。典型例题:例1 : （2012湖北黄石3分）分解因式：x2 x - 2 =。【答案】（x 1） （x+ 2）。【考点】因式分解。【分析】设x2 x -2 = x A x B ,2A +B=1丽/白 A= 1亠 A=2 x A x B ；=x2 A B x A B,，解得或人 A B= -2B=2 B= -1 x2 x -2= x -1 x 2。注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。例 2 :分解因式：3x2 5xy -2y2 x 9y 4 o【答案】3x -y 4 x 2y -1。【考点】因式分解。【
8、分析】t 3x2 5xy -2y2 = 3x -y x 2y ,可设 3x2 5xy -2y2 x 9y-4=3x-y a x 2y b。/ 3x -y a x 2y b = 3x2 5xy - 2y2a 3b x （2a - b）y ab,2 2 2 2 3x 5xy2y x 9y4 =3x5xy2y 亠a 3b x （2ab）y ab。a 3b=1比较两边系数，得2a -b=9。ab= - 4 联立，得a=4, b= 1。代入式适合。 3x2 5xy -2y2 =3x _y 4 x 2y -1。练习题：1. （2012四川南充 3分）分解因式：x2 -4x -12 =。2. （ 2012山
9、东潍坊3分）分解因式：x34x2 12x=。23. （2011贵州黔东南4分）分解因式：x -2x-8=。四.待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法,求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数， 根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系， 将已知的条件代入方程, 求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比k例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，y =-的形式x2(其中k、b为待定
10、系数，且k丰0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax+bx+c(a、b、c为待定系数)，顶点式y=a (x h) 2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a (x xi)(x X2)( a、xi、x2为 待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式 )，确定出a、b、c、k、xi、X2等待定 系数，求出函数解析式。典型例题：例1: (2012江苏南通3分)无论a取什么实数，点 P(a 1, 2a 3)都在直线I上，Q(m, n)是直线I上的 点，则(2m n+ 3)2的值等于.【答案】16。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。
11、【分析】由于a不论为何值此点均在直线 I上，令 a=0,则 Pi ( 1, 3);再令 a=1，则 P2 (0, 1)。设直线I的解析式为y=kx+b (20,kb - -3J b - -1k = 2，解得b-1直线I的解析式为：y=2x 1。/ Q (m, n)是直线 I 上的点， 2m 1=n，即 2m n=1。2(2m n + 3) = (1+3) 2=16。例2: (2012山东聊城7分)如图，直线 AB与x轴交于点A (1 , 0),与y轴交于点B (0, - 2).(1) 求直线AB的解析式；(2) 若直线AB上的点C在第一象限，且 Smoc=2，求点C的坐标.1 /c0卜工/【答
12、案】解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b ,直线 AB 过点 A (1 , 0)、点 B (0, - 2),k b=0k =2，解得。b= -2b= -2直线AB的解析式为y=2x - 2。(2)设点C的坐标为(x, y),1-Sboc=2 , ?2?x=2,解得 x=2。2 y=2X2 - 2=2。点C的坐标是(2, 2)。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】(1)设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A (1 , 0)、点B (0,- 2)分别代入解析式即可组成 方程组，从而得到 AB的解析式。(2)设点C的坐标为(x, y),根据三角形面积公式以及Saboc =
13、2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标。例3: (2012湖南岳阳8分)游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程排水-清洗-灌水”中水量y (m3)与时间t (min、之间的函数关系式.(1) 根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y (m3、与时间t (min、的函数解析式；(2) 问：排水、清洗、灌水各花多少时间？【答案】解：(1、排水阶段：设解析式为：y=kt+b ,图象经过(0, 1500), ( 25, 1000),t b=1500k= 20，解得：k 20。排水阶段解析式为：y= - 20t+1500。25k+b=1000b=1500清洗
14、阶段：y=0。灌水阶段：设解析式为：y=at+c,图象经过(195, 1000) , (95, 0),195a+c=1000I95a+c=0，解得:a=10。灌水阶段解析式为：y=10t - 950。（2 ）排水阶段解析式为:y= - 20t+1500,.令 y=0，即0= - 20t+1500，解得:t=75。b= -950排水时间为75分钟。清洗时间为：95 - 75=20 （分钟），根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500 m3,245 - 95=150 (分钟) 1500=10t - 950,解得：t=245。故灌水所用时间为:【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式,以及清洗阶段:
