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1、初二数学寒假专题三角形拓展（二）北京实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题三角形拓展（二）【典型例题】 例1. 已知：如图所示，ABC中，AB=AC，D、E分别是AC、AB上的点，若BD=BC，AD=DE=BE，求的度数。 分析：题目图形中有较多的等腰三角形，因此想到利用设未知数，通过方程思想，依据三角形内角和定理，注意这种方法是一个三角形中设未知数，用未知数表示另一个三角形中的角，然后利用三角形内角和定理及推论列方程，所以此题解法很多。 解法1：在ADE中，设 解法2：在BDE中，设2=x 注：此题还有其他一些解法，同学们可模仿上面解法自己研究，从中体会设未知数方法的应用。 例2.
2、已知：如图所示，ABC中，求证：。 分析：如图所示，此题欲证，一时很难下手，也无法倒推，怎么办？由条件 ，想到由处理这两个倍分条件入手，看看能否从中找到证题方法，用折半法：作CD平分ACB，则必有2=1=B，从中得到DB=DC，进一步想到再将BC折半，取BC中点E，连结DE，则DEC=90，故只需证A=DEC，由可得。 证明1：作CD平分ACB交AB于D，取BC中点E，连结DE，则ACB=21=22 分析2：如图所示，此题由处理条件C=2B，想到延长BC到E，使CE=AC，连结AE，则必有，进一步得E=B，取BC中点D以后，不难发现，进而得AD=AC=DC，。证明2：如图所示，延长BC到E，使
3、CE=AC，连结AE，则，取BC中点D，连结AD。 例3. 已知：如图所示，ABC中，延长AC到D，使，若，求的度数。 分析：此题欲求的度数，一时很难下手，应注意，想到含30角的直角三角形的性质，为此作于E，则，进而得由，又可得，从而发现AE=DE=BE，故ABE是等腰直角三角形，所以。 解：作 注：题目已知条件中有30角或60角时，常设法利用“直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，这是一个解几何题的重要思路。 例4. 已知，如图所示，等腰直角三角形ABC，D、E是斜边BC上的两点，且求证：。 证明：作C为垂足，取CF=BD，连结AF、EF 注：在证明两条线段的平方和等于另一
4、条线段的平方时，若这三条线段在同一个直角三角形中时，就直接应用勾股定理，若这三条线段不在同一个直角三角形中时，则要构造一个这样的直角三角形，如在本题中，线段BD、EC、DE在同一直线上，不能直接应用勾股定理证明，我们就构造RtEFC，使BD、EC、DE都集中到这个直角三角形中，再应用勾股定理来证明。 例5. 已知：如图所示，1=2，DE/AC交AB于E，交BC延长线于F，求证：FAC=B。分析：欲证：FAC=B，由DE/AC，得3=2=1，从而得EA=ED，由得EF是AD中垂线，进而得FA=FD，故有FAC+2=FDA=B+1，由1=2，得FAC=B。 证明： 注：此题的条件中有角平分线和平行
5、线，在这样的基本图形中一定会产生等腰三角形。 小结：几何的学习在掌握了基本概念之后，同学们要善于从复杂的图形中，发现基本图形，这是学习中的一个由繁到简的过程，另外分析的思路靠同学们自己来总结，这就需要同学们在解题之前，解题之中，解题之后都要认真的思考。【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 已知：如图所示，C是线段AB上一点，ACD和BCE都是等边三角形，AE、CD交于P，BD、CE交于Q，求证：PQC是等边三角形。 2. 已知：如图所示，在ABC中，点E、D分别在AB和AC上，如果AE=ED=DB=BC，求A的度数。 3. 已知：如图所示，在ABC中，BD是AC边上的中线，ABD=30，C
6、BD=90，求证：AB=2BC 4. 已知：如图所示，AD是ABC的中线，C=90，于E，求证：。 5. 已知：如图所示，AB=BC，C、D、E在一条直线上，求证：ADE是等腰三角形。【试题答案】 1. 提示：通过PC=QC，PCQ=60证明。 2. 15。提示：设A=x，通过等边对等角，表示其它角，再利用方程思想解决。 3. 提示：延长BD至E，使DE=BD，连接AE，证明，可得AED=CBD=90，在RtABE中，通过直角三角形30的性质可得。 4. 提示：在RtACD、RtADE、RtBDE中应用勾股定理，通过等量代换证之 5. 提示：先证AD=CD，再证BDC=E，再证EAD=E，得AD=ED，可证。
