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1、21.1一元二次方程一元二次方程的相关概念R九年级上册新课导入情景：要设计一座高情景：要设计一座高2m的人体雕像的人体雕像,使使 它的上部它的上部(腰以上腰以上)与下部与下部(腰以腰以 下下)的高度比等于下部与全身的的高度比等于下部与全身的 高度比高度比,则雕像的下部应设计多则雕像的下部应设计多 少米高少米高?（1）会设未知数，列一元二次方程）会设未知数，列一元二次方程.（2）了解一元二次方程及其根的概念了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地 指出各项系数指出各项系数.推进新课知识点1寻找等量关系列方程并化
2、简寻找等量关系列方程并化简寻找等量关系列方程并化简寻找等量关系列方程并化简 问题问题1 有一块矩形铁皮，长有一块矩形铁皮，长100cm，宽，宽50cm，在它，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作无盖方盒的底如果要制作无盖方盒的底面积为面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为一个相同的正方形，我们设正方
3、形边长为 cm，则，则盒底的宽为盒底的宽为 cm，盒底的长为，盒底的长为 cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2，可列方程可列方程为为 .(50-2x)x(100-2x)(100-2x)(50-2x)=3600你能把它整理你能把它整理成形如成形如x2+bx+c=0的形式吗？的形式吗？(100-2x)(50-2x)=36005000100 x200 x+4x2=3600 4x2300 x+1400=0 x275x+350=0先去括号先去括号移项、合并同类项移项、合并同类项系数化为系数化为1一个圆的面积是一个圆的面积是2m2，求半径，求半径r.一个直
4、角三角形的两条直角边相差一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积，面积9cm2，求，求 较长的直角边较长的直角边x的长的长.把长为把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等 于较长一段的长的平方，求较短一段的长于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.r2=2x=(1-x)2知识点2一元二次方程的概念一元二次方程的概念一元二次方程的概念一元二次方程的概念下列方程中未知数的个数和最高次数各是多少？下列方程中未知数的个数和最高次数各是多少？x2+2x-4=0 x275x+350=0 x2-x=56 只含有一个未知数只含有一个未知数(一元一元)，并且
5、未知数的最高次数是，并且未知数的最高次数是2.一元二次方程的一般形式是一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a0)，为什，为什么要规定么要规定a0？因为因为a=0时，未知数的最高次数小于时，未知数的最高次数小于2.知识点3一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 a是是二次项系数，二次项系数，b是是一次项系数，一次项系数，c是是常数项常数项.一元二次方程的每一项一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前（系数）都应包括它前面的符号。面的符号。例例 将方程将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的化成一元二次方程的一般形式，一般形式
6、，并写出其中的二次项系数并写出其中的二次项系数、一次项系数一次项系数和和常数项常数项.解：去括号，得解：去括号，得 3x2-3x=5x+10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.二次项系数为二次项系数为3，一次项系数为，一次项系数为-8，常数项为，常数项为-10.知识点4一元二次方程的解一元二次方程的解一元二次方程的解一元二次方程的解 使方程使方程左右两边相等左右两边相等的未知数的值就的未知数的值就是这个一元二次方程的是这个一元二次方程的解解，一元二次方程，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的的解也叫做一元二次方程的根根
7、.下面哪些数是方程下面哪些数是方程x2+3x-10=0的根？的根？-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5.分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未知数作为未知数x的值分别代入方程的值分别代入方程x2+3x-10=0中，能够使中，能够使方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验可知，当且仅当可知，当且仅当x=-5或或2时，方程时，方程x2+3x-10=0左右两边左右两边相等相等.随堂演练1.一元二次方程一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别的二次项系数和一次项系数分别
8、是（是（）A.3，5 B.3，0 C.3，-5 D.5，02.下列哪些数是方程下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？的根？4，3，2，1，0，1，2，3，4.C解：解：4，3.3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项该方程的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x2+1=6x；（2）4x2=815x；解：一般形式：解：一般形式：3x2-6x+1=0 二次项系数：二次项系数：3 一次项系数：一次项系数：-6 常数项：常数项：1解：一般形式：解：一般形式：4x2+5x-81=0 二次项系数：二次项系数：4
9、 一次项系数：一次项系数：5 常数项：常数项：-81 5.在一幅长在一幅长80cm，宽，宽50cm的矩形风景画的四周镶一的矩形风景画的四周镶一 条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂 图的面积是图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为，设金色纸边的宽为xcm，则，则x 满足的方程是（满足的方程是（）A.x2+130 x+1400=0 B.x2+65x-350=0 C.x2-130 x-1400=0 D.x2-65x-350=0B6.如果如果2是方程是方程x2-c=0的一个根，求常数的一个根，求常数c及方程的另及方程的另 一个根一个根.解：将解
10、：将2代入原方程中，代入原方程中，22-c=0，得，得c=4.将将c=4代入原方程，得代入原方程，得x2-4=0.解得解得x=2.即方程的另一个根为即方程的另一个根为-2.解：一般形式：解：一般形式：5x2-4x-1=0 二次项系数：二次项系数：5 一次项系数：一次项系数：-4 常数项：常数项：-1解：一般形式：解：一般形式：4x2-81=0 二次项系数：二次项系数：4 一次项系数：一次项系数：0 常数项：常数项：-81 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中 的二次项系数、一次项系数和常数项：的二次项系数、一次项系数和常数项：（1
11、）5x2-1=4x；（2）4x2=81；练习练习【教材教材P4练习练习 第第1题题】1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中 的二次项系数、一次项系数和常数项：的二次项系数、一次项系数和常数项：（3）4x(x+2)=25；（4）(3x-2)(x+1)=8x-3；解：一般形式：解：一般形式：4x2+8x-25=0 二次项系数：二次项系数：4 一次项系数：一次项系数：8 常数项：常数项：-25解：一般形式：解：一般形式：3x2-7x+1=0 二次项系数：二次项系数：3 一次项系数：一次项系数：-7 常数项：常数项：1 【教材教材P4练习练
12、习 第第1题题】2.根据下列问题，列出关于根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长求正方形的边长x;(2)一个矩形的长比宽多一个矩形的长比宽多2，面积是，面积是100，求矩形的长，求矩形的长x;(3)把长为把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.4x2=25，化为一般形式为，化为一般形式为4x2-25=0 x(x-2)=25，化为一般形式为，化为一般形式为x2-2x-100=0 x1=(1-x)2，化为一般形式为，化为一般形式为x2-3x+1=0【教材教材P4练习练习 第第2题题】课堂小结一般形式一般形式：ax2+bx+c=0(a0)a+b+c二次项系数二次项系数一一次项系数次项系数常数项常数项一一元元二二次次方方程程概念概念概念概念一个未知数一个未知数一个未知数一个未知数最高次是最高次是最高次是最高次是2 2整式方程整式方程整式方程整式方程
