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1、练习1、 利用数列极限的定义证明.（1）证明：（2）证明：（3）证明：（4）证明：（5）证明：（6）证明：（7）证明：（8）证明：（9）证明：（10）证明：（11）证明：（12）证明：（13）证明： 当时，存在，对时，有（14）证明：（15）证明： 由 故对上述，取，有.（16）证明：（17）证明：（18）证明：（19）证明：设，则，所以. 因此有, 有（20）证明：，有2证明下列数列是收敛的。（1）证明：递增，又因为故单调有界，收敛.（2）证明：，所以减少.又所以有下界，收敛.（3）证明：递增，又因为故是单调有界的，收敛.（4）证明：递增，又因为故是单调有界的，收敛. （5）证明：，又故是单
2、调有界的，收敛. （6）证明：递增，又因为由得 ，故单调有界，收敛. （7）证明：，所以，减少，又，有下界，收敛.（8）证明：，递减，又因为故单调有界，收敛.（9）证明：，有（10）证明：由，所以.3证明数0和1不是下列数列的极限。（1）证明：（2）证明： （3）证明： 4证明下列数列没有极限.（1）证明：，故存在不收敛于同一数的两子列，所以数列没有极限.（2）证明：，故存在不收敛于同一数的两子列，所以数列没有极限.（3）证明：，故存在不收敛于同一数的两子列，所以数列没有极限.（4）证明：，故存在不收敛于同一数的两子列，所以数列没有极限.（5）证明：（6）证明：，故存在不收敛于同一数的两子列，
3、所以数列没有极限.（7）证明：（8）证明： （9）证明：存在 对任意，存在正整数， ，有（10）证明：5已知，求（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：6、已知，试证明下列等式成立.（1） 证明：由（2） 证明：当时，使得，有；若，由，于是 （3）证明： 则 ， 可得，故，有，则（4）证明：，则（5）证明：（6）证明：7、求下列极限.（1） （2）（3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）（13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22） （23） （24） （25
4、） （26） （27） （28）解：（1），（2）0，（3）0，（4），（5），（6），（7）0，（8）1，（9），（10）1，（11），（12），（13）1，（14）-1，（15），（16）（17）0，（18），（19），（20）-1，（21）1，（22）0，（23）0，（24）5，（25），（26），（27），（28）0.（18） （19）8、证明：（1） 证明：令， 得，取，则 有，即当时，递减，又因为，有下界，故存在极限，记为，对两端取极限，得.（2）证明：当时，记，由贝努利不等式得 所以，即，有.当, 则，综上，.（3） 证明：，所以递减，又因为，有下界，故存在极限，记为，对两端取极
5、限，得.（4） 证明：证明: 设，有，则（5） 证明：令，得，取，则 有，即当时，递减，又因为，有下界，故存在极限，记为，对两端取极限，得.（6）证明：当时，由，知9、求极限.（1） 解：原式=（2） 解：原式=（3） 解：原式= （4）解：原式=（5） 解：原式=所以 （6） 解：原式=（7） 解：原式=（8） 解：原式=（9） 解：原式=（10）解：原式（11） 解：原式=（12） 解：原式=（13） 解：原式=3（14） 解：原式=（15） 解：原式=（16）解：由 所以 .10、求极限.（1） 解：原式=（2）解：原式=（3） 解：原式=（4） 解：原式=（5） 解：原式=（6） 解：
6、原式 由1.1练习题32(4)（7） 解：（8） 解： （9） 解：原式=（10） 解：原式=（11）解：原式=（12）解：原式=（13）解：11、证明下列数列有极限并求极限.（1）证明：.因为，则所以，递增数列. 极限存在，设为，对两端取极限，有，得.（2）证明：因为 ，所以，故. 又，所以递减数列， 极限存在，设为，对两端取极限，有，得.（3）证明：，由递推关系可知. 因为，设，那么, 递增数列. ，设，则，即. 极限存在，设为，对两端取极限，有，得.（4）证明：，由递推关系可知. 又又因为，所以为递减数列，极限存在，设为，对两端取极限，有，得.（5）证明：，显然. , 设，所以，即当时，
7、递减，故极限存在，设为，有，得.12、设与是任意正数且. 证明：数列收敛于. 并利用这一结论求下列各数的近似值.（1） 精确到（2） 精确到（3） 精确到证明：显然，又因为，所以. 又，有，递减，有下界，故极限存在，设为，有 .（1） 取,当时,;（2） 取,当时,;（3）取,当时,13、求极限.（1） 解：原式=（2）解：原式=（3） 解：（4）解：原式=（5） 解：原式=（6）解：原式=（7） 解：原式= （8）解：原式=14、试证明下列数列或发散到或，或为无穷大数列.（1） 证明：，即（2） 证明：，即（3） 证明：，即（4） 证明：，有，即（5） 证明：，为无穷大数列.（6） 证明： （7）证明：, 有，为无穷大数列.（8）证明：，为无穷大数列.（9）证明： 由知 所以为无穷大数列.（10）证明：由（9）知，所以为无穷大数列.
