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1、兰州第十中学 数学组2013年最新八年级数学竞赛讲座 第十七讲 梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特殊的梯形，其判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似 通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是： 1平移腰：过一顶点作一腰的平行线； 2平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线； 3过底的顶点作另一底的垂线熟悉以下基本图形、基本结论例题求解 【例1】 如图，四边形ABCD中，ABCD，D=2B，若AD=a ，AB=b，则CD的长是 ( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 平移腰，构造等腰三角形、平行四边形注 平移腰
2、、平移对角线的作用在于，能得到长度为梯形上下底之差或之和的线段，能把题设条件集中到同一三角形中来【例2】 已知一个梯形的4条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（ ） A4 B6 C8 D (全国初中数学联赛试题)思路点拨 给出4条线段，要构成梯形需满足一定条件，解题的关键是确定可能的上、下底 注 给出4条线段不一定能构成梯形，需满足一定的条件，讨论的方法是通过平移腰，把问题转化为三角形的问题讨论，请读者思考，设为梯形的上、下底，c、为腰，那么a、b、c、d满足怎样的条件?【例3】(1)如图，已知等腰梯形ABCD中，AB=CD，ADBC，E是梯形外一点，且EA=ED，求证：EB=EC
3、 (2)请你将(1)中的“等腰梯形”改为另一种四边形，其余条件不变，使结论“EB=EC”仍然成立，再根据改编后的问题画图形，并说明理由(黄冈市中考题) 思路点拨 要使“EB=EC”仍然成立，只需新的四边形与等腰梯形有一些共同的特征【例4】 如图，已知梯形ABCD中，BCAD，AD=3，BC=6，高=2，P是BC边上的一个动点，直线过P点，且mDC交梯形另外一边于E，若BP=x，梯形位于直线m左侧的图形面积为y(1)当3AB，O为对角线的交点，过O作一直线分别交BC、AD于M、N(1)求证：S梯形ABMNS梯形CDNM(2)当M、N满足什么条件时，将矩形ABCD以MN为折痕翻折后能使C点恰好与A
4、点重合(只写出满足的条件，不要求证明)； (3)在(2)的条件下，若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分面积的，求的值(江苏省连云港市中考题)21如图，分别以ABC的边AC、BC为一边，在ABC外作正方形ACDC和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半22如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=，ADl，B45，动点E在折线BAADDC上移动，过点E作EPBC于P，设PB= x，写出题中所有能用x的代数式表示图形的面积 (江苏省常州市中考题)23如图，已知梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=3cm，C=60，BDCD， (1)求BC、AD的长度 (2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以lcm秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t 的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由 (青岛市中考题)第1页（共9页）
