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1、三角函数发展历史分析1该文章选自：/2一、三角学的发源与发展三角学之英文名称Trigonometry，约命名于公元1600年，实质导源于希腊文trigono(三角)和metrein(丈量)，其原义为三角形丈量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到丈量上的应用为目的的一门学科。初期的三角学是天文学的一部份，此后研究范围逐渐扩大，变为以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不只限于三角形，且为数理分析之基础，研究适用科学所必要之工具。(一)西方的发展三角学Trigonometry首创于公元前约150年，早在公元前300 年，古代埃及人已有了必定的三角学知识，主
2、要用于丈量。比方建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和察看天象等。公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相像三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角丈量的肇始。公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（HipparchusofNicaea）为了天文察看的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的弦表，即在固定的圆内，不一样样圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早确定者，这个成就使他博得了三角学之父的称呼。公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)3继承希帕霍斯的成就，加以整剪发挥，着成天文学大成13卷，包含从0到90每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的
3、关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本特意论述球三角学的著作球面学，内容包球面三角形的基本看法和很多平面三角形定理在球面上的推行，以及球面三角形很多独到性质。他的工作使希腊三角学达到全盛时期。(二)中国的发展我国古代没有出现角的函数看法，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实诘问题。据周髀算经记录，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理丈量太阳的高度，其方法此后称为重差术。1631西方三角学初次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启(p20)合编的大测为代表。同年徐光启等人还编写了丈量全义，此中有平面三角和球面三角的论述。16
4、53年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编三角算法，以三角代替大测，确定了三角名称。1877年光蘅煦等人对三角级数张开式等问题有过独立的商讨。现代的三角学主要研究角的特别函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展于20世纪中。4二、三角函数的演进正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometricfunction）。尽管三角知识发源于太古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉(p16)（1707-1783）在无量小分析引论一书中首次给出的。在欧拉从前，研究三角函数多半在一个确定半径的圆内进行的。如古希腊的托勒密定半径为60；印度人阿耶波多（约476
5、-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精良地计算三角函数值曾定半径600,000；此后为拟定更精良的正弦表又定半径为107。所以，当时的三角函数其实是定圆内的一些线段的长。意大利数学家利提克斯（1514-1574）改变了祖先的做法，即过去一般称AB为的正弦，把正弦与圆紧紧地连结在一起（以下页图），而利提克斯却把它称为AOB的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆O成为隶属地位了。A0BDPC5到欧拉(Euler)时，才令圆的半径为1，即置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。1. 正弦、余弦在ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边
6、，R为ABC的外接圆半径，则有称此定理为正弦定理。正弦定理是由伊朗有名的天文学家阿布尔.威发(940-998)第一发现与証明的。中亚细亚人阿尔比鲁尼973-1048(p15)给三角形的正弦定理作出了一个証明。也有说正弦定理的証明是13世纪的那希尔丁在论圆满四边形中第一次把三角学作为独立的学科进行论述，初次清楚地论証了正弦定理。他还指出，由球面三角形的三个角，能够求得它的三个边，或由三边去求三个角。这是差别球面三角与平面三角的重要标记。至此三角学开始走开天文学，走上独立发展的道路。托勒密（ClaudiusPtolemy）的天文学大成第一卷除了一些初级的天文学资料以外，还包含了上边讲的弦表：它给出
7、一个圆从（12）到180每隔半度的所有圆心6角所对的弦的长度。圆的半径被分为60均分，弦长以每一均分为单位，以六十进制制表达。这样，以符号crda表示圆心角所对的弦长，比方crd36=37p455，意思是：36圆心37角的弦等于半径的60（或37个小部分），加上一个小部分的45560 ，再加上一个小部分的3600，从以以下图看出，弦表等价于正弦函数表，因为MABAABABcrd2sinOOA圓O的直徑120公元6世纪初，印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限内间隔345的正弦表，依照巴比伦人和希腊人的习惯，将圆周分为360度，每度为60分，整个圆周为21600份，此后据2r=216000，得出r
8、=3438近似值，此后用勾股定理先算出30、45、90的正弦此后，再用半角公式算出较小角的正弦值，从而获取每隔345的正弦长表；此顶用同一单位胸怀半径和圆周，孕育着最早的弧度制看法。他在计算正弦值的时候，取圆心角所对弧的半弦长，比起希腊人取全弦长更近于现代正弦概念。印度人还用到正矢和余弦，并给出一些三角函数的近似分数式。72.正切、余切有名的叙利亚天文学、数学家阿尔一巴坦尼850-929于920年左右，制成了自0到90相隔1的余切cotangent表。公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成大行历。为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表，而太阳
9、天顶距和日影长度的关系即为正切tangent函数。而巴坦尼编制的是余切函数表，而太阳高度角和太阳天顶距角互为余角，这样两人的发现其实是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。14世纪中叶，中亚细亚的阿鲁伯1393-1449，原是成吉思汗的后辈，他组织了大规模的天文察看和数学用表的计算。他的正弦表精确到小数9位。他还制造了30到45之间相隔为1，45到90的相隔为5的正切表。在欧洲，英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁1290？-1349第一把正切、余切引入他的三角计算之中。3.正割、余割正割secant及余割cosecant这两个看法由阿布尔威发第一引入。sec这个略号是1626年荷兰数基拉德15
10、95-1630在他的三角学中第一使用，后经欧拉采纳8才得以通行。正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的。欧洲的文艺中兴时期，14世纪-16世纪伟大的天文学家哥白尼1473-1543建议地动学说，他的学生利提克斯见到当时天文察看日趋精良，认为计算更精确的三角函数值表刻不容缓。于是他定圆的半径为1015，以制作每隔10的正弦、正切及正割值表。当时还没有对数，更没有计算机。全靠笔算，任务十分深重。利提克斯和他的助手们以坚毅不拔的意志，勤奋工作达12年之久，遗憾的是，他生前没能完成这项工作，直到1596年，才由他的学生鄂图1550-1605完成并宣告于世，1613年海得堡的彼提克斯1561-1613
11、又校订了利提克斯的三角函数表，重新重版。此后英国数学家纳皮尔发现了对数，这就大大地简化了三角计算，为进一步造出更精确的三角函数表创办了条件。4.三角函数符号毛罗利科早于1558年已采纳三角函数符号，但当时并没有函数看法，于是只称作三角线（trigonometriclines）。他以sinusmmarcus表示余弦。1arcus表示正弦，以sinus2而首个真切使用简化符号表示三角线的人是T.芬克。他于1583年创办以“tangent”（正切）及“secant”（正割）表示相9应之看法，此后他分别以符号“sin.”,“tan.”,“sec.”,“”,“”,“”表示正弦，正切，正割，余弦，余切，余
12、割，首三个符号与现代之符号相同。此后的符号多有变化，以下的表便显示了它们之发展变化。使用者年月正弦余弦正切余切正割余割备注罗格蒙格斯1622S.R.T.(Tang)T.cplSecSec.Compl吉拉尔1626tansec.杰克1696s.cos.t.cot.sec.cosec.欧拉1753sin.cos.tag(tg).cot.sec.cosec谢格内1767sin.cos.tan.cot.巴洛1814sincos.tan.cot.seccosec施泰纳1827tg皮尔斯1861sincos.tan.cotallseccosec奥莱沃尔1881sincostancotseccsc申弗利斯1886tgctg万特沃斯1897sincostancotseccsc舍费尔斯1921sincostgctgseccsc注：现代（欧洲）大陆派三角函数符
