第六章假设检验

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1、第六章 假设检验参数估计和假设检验是推断统计的两个组成部分，都是利用样本信息对总体进行某种推 断，只是推断的角度不同。它们广泛地应用于教育学、心理学、经济学以及医学等领域。本 章将对假设检验的原理、步骤以及常见的假设检验方法进行介绍。第一节 假设检验的一般问题一、假设检验的基本思想所谓假设检验(hypothesis testing),就是先对总体的某些数量特征作出假设，然后利用 样本的信息，通过统计推断的方法对假设进行判断，以决策能否拒绝假设的一种统计分析方 法。一般来说，我们进行假设检验是检验总体之间是否有显著差异。如果我们能够准确知道 总体的全部信息，这种判断非常容易得出。比如，一个总体的

2、均值为 50，另一个总体的均 值为55，则我们只需要从数学的角度比较两个数字， 50显然不等于 55，从而得出两个总体 均值是有差异的。但是实际情况是，总体的信息我们并不能完全获取，我们只是通过样本信 息来对总体进行推断，因此我们需要借助统计推断的原理，用概率的方法来判断两个样本各 自所代表的总体之间有无差异。由于抽样的随机性导致抽样误差是肯定存在的，因此我们认 为这种差异需要达到一定程度才可以判断总体之间确实存在显著性差异。在进行假设检验之前，由于我们通常难以完全知道所关心的总体的某些数量特征及其变 化情况，因此常常需要对总体的目前状况作出某种假设。例如我们考虑目前股票市场上的价 格指数的走

3、势是否正常，我们可以根据过去长期观察的平均水平和变异情况，作出当前股票 价格水平可能正常或不正常的假设。又如工厂生产某种产品，经过工艺改革，使用新材料、 新配方，企业管理者十分关心产品质量是否有所提高，因此可以假设经过改革以后产品质量 可能提高或者并没有提高。我们可以通过一个例子来说明假设检验的基本思想。【例6-1】假定某可乐公司装灌一瓶可乐饮料的标准含量是 250毫升，只有在最佳状态 下所有的可乐饮料的含量才正好是 250 毫升，所以公司希望饮料的平均含量是这个数。但质 检员担心设备出现故障，想进行一次假设检验以帮助确定是否出现故障以造成饮料的多装或 少装。假定总体为正态总体，总体标准差为

4、5毫升，质检员随机抽取了 16瓶可乐饮料，测 得其平均含量为 253 毫升，那么在 0.05 的显著性水平下能否判断设备是否出现故障。质检员希望设备正常运转，但的确想知道设备是否出现故障以造成饮料的多装或少装。 可以先假定设备未出现故障，也就是不同批次生产的可口可乐平均含量没有显著差异。现在 从不同批次生产的可口可乐中抽取一部分作为样本，并根据实际观察的样本资料计算统计量 的取值，来判断其与假设的总体参数是否一致。当然，要求两者完全一致的可能性是极小的， 那么差异达到多大才算是显著呢？所谓显著性是指差异程度而言的，程度不同说明引起差异 的原因也有不同。一般来说，存在着两种不同性质的差异，系统差

5、异和随机差异。系统差异 由总体的本质差别引起，而随机差异则由抽样的随机性而导致。从这个例子来说，系统差异 就是由于设备的确发生了故障，导致不同批次生产的可口可乐平均含量发生了变化，使得我 们抽取的样本来自于不同的总体。如果样本统计量与假设总体参数之间的差异超过了随机差 异起作用的程度，则说明是由于本质的系统差异所导致的，因此可以拒绝没有显著性差异的 原假设。这里我们通常用小概率原理来判断，也就是说如果统计量和假设的总体参数实际发 生的差异超过给定的标准的可能性很小，但在一次抽样的计算结果中却发生了（即差异超过 给定的标准），那么我们就有理由用反证法认为原假设是错误的，从而拒绝这个假设。否则 我

6、们就没有理由拒绝原假设。因此假设检验主要以下几个特点：第一，假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。为了检验某假设，先假定它正确，然后 根据抽样理论和样本信息，观察由此假设而导致的结果是否合理。如果不合理，则说明原假 设是不正确的，从而得出拒绝原假设的结论；如果合理，则得出不能拒绝原假设的结论。第二，判断结果合理与否，是基于小概率原理。所谓小概率原理，即在一次抽样中，小 概率事件不可能发生。如果在原假设下发生了小概率事件，则认为原假设是不合理的；反之， 小概率事件没有发生，则认为原假设是合理的。小概率的标准是多大，5算不算是小概率？ 这没有绝对的标准，一般我们以一个所谓显著性水平a （0 Z时，落

7、入拒绝域，则拒绝原假设H ;d 20当Z Z，则可以拒绝原假设，即样本均值与总体均值有显著差异，也就是说设备出现d 2了故障。三、假设检验的两类错误对于原假设提出的命题，我们需要作出判断，这种判断可以用“原假设正确”或“原假 设错误”来表述。但是由于假设检验是根据有限的样本信息来推断总体特征，由于样本的随 机性可能致使判断有可能出错，也就是说我们面临着犯错误的可能性。通常我们所犯的错误 有两种类型，我们称为第一类错误和第二类错误。第一类错误：当原假设H为真时，由于样本的随机性使样本统计量落入了拒绝域，所 0作的判断是拒绝原假设。这时所犯的错误称为第一类错误，亦称弃真错误。由于这时我们认 为“一

8、次抽样中小概率事件发生了”是不合理的，从而作出了拒绝原假设的结论。但事实上， 小概率事件只是发生概率非常小而已，并非绝对不发生。犯第一类错误的概率亦称弃真概率， 它实质上就是显著性水平d，所以我们也把第一类错误称为d错误。第二类错误：当原假设H为假时，由于样本的随机性使样本统计量落入了接受域，所0作的判断是接受原假设。这时所犯的错误称为第二类错误，亦称取伪错误。犯第二类错误的由于假设检验分为单侧检验和双侧检验，其临界值和决策的标准有所不同，这里我们以双侧检验为例，单 侧检验在后面详细介绍。概率亦称取伪概率，用卩表示，所以我们也把第二类错误称为卩错误。归纳起来，假设检验中决策结果存在四种情形：

9、原假设是真实的，判断结论是不拒绝原假设，这是一种正确的判断； 原假设是不真实的，判断结论是拒绝原假设，这也是一种正确的判断； 原假设是真实的，判断结论是拒绝原假设，这是一种产生“弃真错误”的判断； 原假设是不真实的，判断结论是不拒绝原假设，这是一种产生“取伪错误”的判断 以上四种判断我们在表 6-1 中展示。表 6-1 假设检验中的四种决策H为真H不为真不拒绝H正确决策第二类（取伪）错误0（概率为1-a ）（概率为卩）拒绝H第一类（弃真）错误正确决策0（概率为a ）（概率为1-卩）无论是第一类错误还是第二类错误，都是检验结论失真的表现，应该尽可能地加以避 免。但对于一定的样本容量n，不能同时做

10、到犯这两类错误的概率都很小。如果减小a错 误，就会增大犯卩错误的机会；若减小卩错误，也会增大犯a错误的机会。这就像在区间 估计中，你要想增大估计的可靠性，就会使区间变宽而降低精度；你要想提高精度，就要求 估计区间变得很窄，而这样，估计的可靠性就会大大地打上折扣。当然，使a和卩同时变 小的办法也有，这就是增大样本容量。但样本容量不可能过大，否则就会使抽样调查失去意 义。因此，在假设检验中，就有一个对两类错误进行控制的问题。一般来说，哪一类错误所带来的后果越严重，危害越大，在假设检验中就应当把那一类 错误作为首要的控制目标。但在假设检验中，大家都在执行这样一个原则，即首先控制犯a 错误的概率。这样

11、做的原因主要有两点：一个是大家都遵循一个统一的原则，讨论问题就比 较方便。但这还不是最主要的，最主要的原因在于，从实用的观点看，原假设是什么常常是 明确的，而备择假设是什么则常常是模糊的。显然，对于一个含义清楚的假设和一个含义模 糊的假设，我们不愿意拒绝前者，正是在这个背景下，我们就更为关心如果H为真，而我 0 们却把它拒绝了，犯这种错误的可能性有多大。而这正是a错误所表现的内容。假设检验 中犯两类错误的情况如图6-1所示。由于犯第一类错误的概率实质上就是显著性水平a ,因此我们可以通过控制显著性水 平a大小的方式，来控制犯第一类错误的概率。a定的越小，犯第一类错误的可能性就越 小。例如a =

12、0.05，表示犯第一类错误的可能性为5%,也就是说在100次判断中，产生弃我们也可以通过下面的两个例子来对假设检验的两类错误有更进一步的认识和理解。【例6-2】按照美国法律，在证明被告有罪之前先假定他是无罪的。也就是原假设是H :0被告无罪；备择假设H ：被告有罪。陪审团可能犯的第一类错误是：被告无罪但判他有罪， 这样就会“冤枉好人”；第二类错误是:被告有罪但判他无罪，这样就会“放过坏人”。为了 减小“冤枉好人”的概率，则应该尽可能接受原假设，判被告无罪，但这就有可能增大了“放 过坏人”的概率；反过来，为了不“放过坏人”，陪审团应该增大拒绝原假设的概率，判被 告有罪，但这就相应增加了“冤枉好人”的可能性。这就是a与卩的关系。当然，这只是 在“一定的证据下”的两难选择。如果进一步收集有关的证据，在充分的证据下，就有可能 做到既不冤枉好人，又不放过坏人。在现有证据不充