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1、KS3-MS9-3-f2 /p.1 of 11三角形的中心及其性質學習階段：三學習範疇：度量、圖形與空間範疇學習單位：以演繹法學習幾何基本能力：KS3-MS9-3識別三角形的中線、垂直平分線、高線及角平分線簡介：1. 教師派發三角形的中心及其性質工作紙。 2. 學生利用Java檔案 “ABC2.html”及“Centres.html”去完成工作紙。（此檔案需與其他所有檔案放於同一folder內才可執行，電腦亦需安裝了Java軟體。）3. 學生利用檔案 “ABC2.html”，在Java的互動幾何的環境中，透過特別設計的工具簡便地分別作出三角形的中線、角平分線、高線及垂直平分線，從而認識這些線的
2、共點性質。4. 學生再利用檔案 “Centres.html”，透過拖拉頂點到不同的位置，認識形心將以2：1這個比將各中線分成兩份。5. 學生再使用圓工具（）及特別設計的 工具，在各個中心點嘗試構作外接圓及內切圓，從而認識外心和內心分別是外接圓及內切圓的中心。學習單位：以演繹法學習幾何 三角形的中心及其性質工作紙三角形的中心及其性質開啟檔案“ABC2.html”，可看到以下畫面：畫面顯示的rABC，它的三個頂點A、B、C可被隨意拖拉到不同的位置。圖1題一：三角形的三條中線1.點選中線工具（），再依次點選A、B、C三點，構作中線AD（圖1）。2.再依次點選B、C、A及C、A、B，構作中線BE及CF
3、。3.拖拉三個頂點A、B、C，觀察三條中線的變化，回答以下問題：(a)三條中線是否相交於同一點？是否(b)若三條中線相交於同一點，這交點是否一定會在三角形之內？是否(c)若否，在甚麼情況下這交點會在三角形之外？題二：三角形的三條角平分線圖21.點選重新整理按鈕（）。2.點選角平分線工具（），再依次點選A、B、C三點，構作角平分線AD（圖2）。3.再依次點選B、C、A及C、A、B，構作角平分線BE及CF。4.拖拉三個頂點A、B、C，觀察三條角平分線的變化，回答以下問題：(a)三條角平分線是否相交於同一點？是否(b)若三條角平分線相交於同一點，這交點是否一定會在三角形之內？是否(c)若否，在甚麼情
4、況下這交點會在三角形之外？圖3題三：三角形的三條高線1.點選重新整理按鈕（）。2.點選高線工具（），再依次點選A、B、C三點，構作高線AD（圖3）。3.再依次點選B、C、A及C、A、B，構作角高線BE及CF。4.拖拉三個頂點A、B、C，觀察三條高線的變化，回答以下問題：(a)三條高線是否相交於同一點？是否(b)若三條高線相交於同一點，這交點是否一定會在三角形之內？是否(c)若否，在甚麼情況下這交點會在三角形之外？題四：三角形的三條垂直平分線1.點選重新整理按鈕（）。2.點選垂直平分線工具（），再點選線段BC，構作它的垂直平分線（圖4）。圖43.再依次點選線段CA及AB，構作它們的垂直平分線。4
5、.拖拉三個頂點A、B、C，觀察三條垂直平分的變化，回答以下問題：(a)三條垂直平分線是否相交於同一點？是否(b)若三條垂直平分線相交於同一點，這交點是否一定會在三角形之內？是否(c)若否，在甚麼情況下這交點會在三角形之外？題五：三角形的中心及其性質從題一至題四，我們發現三角形的三條中線、三條角平分線、三條高線及三條垂直平分線都分別相於一點，這些交點都稱為三角形的中心。開啟檔案“Centres.html”，可看到以下畫面：畫面顯示四個全等的rABC，拖拉任何一點紅色點可一起改變四個三個形的形狀，拖拉綠點可改變三角形的位置。1.分別點選形心、內心、垂心及外心鈕，可看到三角形的四個中心如下：形心：三
6、角形的三條中線的交點G；內心：三角形的三條角平分線的交點I；垂心：三角形的三條高線的交點H；外心：三角形的三條垂直平分線的交點O。2.圖中，三角形的形心、內心及垂心分別將各中線、角平分線及高線分成兩份。點選長度及比鈕，顯示各線段的長度及它們之間的比。拖拉紅色點改變三角形的形狀。觀察各線段的長度及它們之間的比的變化。那一個中心點會以一個固定的比將每條線分成兩份？在以下空位寫下你的發現，並將相關的圖畫出。三角形的 心會以 ： 這個比將每條 線分成兩份，即A ： = B ： = C ： = ： 。3.再點選長度及比鈕，隱藏各線段的長度及它們之間的比。點選圓工具（），再分別點選三角形的形心G點及A點，
7、畫一個以G為圓心、通過A的圓，如圖所示。這個圓是否也通過B及C？是否一個通過三角形三個頂點的圓稱為三角形的外接圓。用圓工具，分別以內心、垂心及外心為圓心，畫一個通過A的圓。拖拉紅點改變三形的形狀，觀察圓形的變化。以那一點為圓心，可以畫出rABC的外接圓？形心 內心 垂心 外心 4. 點選重新整理按鈕（）。分別點選形心、內心、垂心及外心鈕，顯示三角形的四個中心。點選 工具，再分別點選三角形的形心G點及線段AB，畫一個以G為圓心、與AB只相交於一點的圓，如圖所示。這個圓是否也與BC及CA只相交於一點？是否一個與三角形三條邊只相交於一點的圓稱為三角形的內切圓。用 工具，分別以內心、垂心及外心為圓心，
8、畫一個與AB只相交於一點的圓。拖拉紅點改變三形的形狀，觀察圓形的變化。以那一點為圓心，可以畫出rABC的內切圓？形心 內心 垂心 外心 總結三角形的外接圓的圓心是三角形的 心。三角形的內切圓的圓心是三角形的 心。 完學習單位：以演繹法學習幾何 三角形的中心及其性質工作紙三角形的中心及其性質（答案）開啟檔案“ABC2.html”，可看到以下畫面：畫面顯示的rABC，它的三個頂點A、B、C可被隨意拖拉到不同的位置。圖1題一：三角形的三條中線1.點選中線工具（），再依次點選A、B、C三點，構作中線AD（圖1）。2.再依次點選B、C、A及C、A、B，構作中線BE及CF。3.拖拉三個頂點A、B、C，觀察
9、三條中線的變化，回答以下問題：(a)三條中線是否相交於同一點？是否(b)若三條中線相交於同一點，這交點是否一定會在三角形之內？是否(c)若否，在甚麼情況下這交點會在三角形之外？題二：三角形的三條角平分線圖21.點選重新整理按鈕（）。2.點選角平分線工具（），再依次點選A、B、C三點，構作角平分線AD（圖2）。3.再依次點選B、C、A及C、A、B，構作角平分線BE及CF。4.拖拉三個頂點A、B、C，觀察三條角平分線的變化，回答以下問題：(a)三條角平分線是否相交於同一點？是否(b)若三條角平分線相交於同一點，這交點是否一定會在三角形之內？是否(c)若否，在甚麼情況下這交點會在三角形之外？圖3題三
10、：三角形的三條高線1.點選重新整理按鈕（）。2.點選高線工具（），再依次點選A、B、C三點，構作高線AD（圖3）。3.再依次點選B、C、A及C、A、B，構作角高線BE及CF。4.拖拉三個頂點A、B、C，觀察三條高線的變化，回答以下問題：(a)三條高線是否相交於同一點？是否(b)若三條高線相交於同一點，這交點是否一定會在三角形之內？是否(c)若否，在甚麼情況下這交點會在三角形之外？rABC為鈍角三角形時。題四：三角形的三條垂直平分線1.點選重新整理按鈕（）。2.點選垂直平分線工具（），再點選線段BC，構作它的垂直平分線（圖4）。圖43.再依次點選線段CA及AB，構作它們的垂直平分線。4.拖拉三個
11、頂點A、B、C，觀察三條垂直平分的變化，回答以下問題：(a)三條垂直平分線是否相交於同一點？是否(b)若三條垂直平分線相交於同一點，這交點是否一定會在三角形之內？是否(c)若否，在甚麼情況下這交點會在三角形之外？rABC為鈍角三角形時。題五：三角形的中心及其性質從題一至題四，我們發現三角形的三條中線、三條角平分線、三條高線及三條垂直平分線都分別相於一點，這些交點都稱為三角形的中心。開啟檔案“Centres.html”，可看到以下畫面：畫面顯示四個全等的rABC，拖拉任何一點紅色點可一起改變四個三個形的形狀，拖拉綠點可改變三角形的位置。1.分別點選形心、內心、垂心及外心鈕，可看到三角形的四個中心
12、如下：形心：三角形的三條中線的交點G；內心：三角形的三條角平分線的交點I；垂心：三角形的三條高線的交點H；外心：三角形的三條垂直平分線的交點O。2.圖中，三角形的形心、內心及垂心分別將各中線、角平分線及高線分成兩份。點選長度及比鈕，顯示各線段的長度及它們之間的比。拖拉紅色點改變三角形的形狀。觀察各線段的長度及它們之間的比的變化。那一個中心點會以一個固定的比將每條線分成兩份？在以下空位寫下你的發現，並將相關的圖畫出。三角形的 形 心會以 2 ： 1 這個比將每條 中 線分成兩份，即A G ： GD = B G ： GE = C G ： GF = 2 ： 1 。3.再點選長度及比鈕，隱藏各線段的長度及它們之間的比。點選圓工具（），再分別點選三角形的形心G點及A點，畫一個以G為圓心、通過A的圓，如圖所示。這個圓是否也通過B及C？是否一個通過三角形三個頂點的圓稱為三角形的外接圓。用圓工具，分別以內心、垂心及外心為圓心，畫一個通過A的圓。拖拉紅點改變三形的形狀，觀察圓形的變化。以那一點為圓心，可以畫出rABC的外接圓？形心 內心 垂心 外心 5. 點選重新整理按鈕（）。分
