形式”探究同样具有思考的价值——对除法“竖式”教学的思考嘉兴市南湖区教研室 费岭峰 近日，与三年级的几位老师一起研讨人教版教材“有余数除法”一单元的教学时，对例1除法“竖式”的引出教学出现了意见分歧有老师认为，除法的竖式与加、减、乘三种运算的竖式有比较大的差异，学生较难探究，教学中教师可以直接示范或让学生自学即可有老师甚至认为，除法的竖式只是一种人为的规定，没有探究的价值，完全可以直接告知学生老师们的观点，引起了笔者的思考除法的“竖式”作为一种笔算形式，确实是早已约定俗成的约定俗成的形式是否就没有探究的价值了呢？如果让学生自主尝试探究，又会产生怎样的探究结果，探究过程的价值又体现在哪里呢？带着这些问题，笔者对人教版教材中加、减、乘、除等四种运算的竖式教学内容进行了解读与研究，认为除法“竖式”是一个相当好的探究点，主要体现在以下三个方面一、“形式”差异本身就是一个思维节点四则运算的笔算过程——竖式，是人类经过长时期的运算实践后形成的运算过程表达方式，其作为笔算过程的外在表现形式，除了表达相应的运算算理之外，还反映了不同运算的运算特点，体现着人类解决问题的方法意识以“加法”运算为例：为什么需要用竖式计算加法呢？是因为当数据比较大（如两位数加两位数，甚至多位数加多位数）时，口算产生了困难，也比较容易计算错误，此时便需要有一种既符合算理的，又能正确算出结果的方法来解决。
经过一段时间的实践，形成了以十进制位值原则为依据的加法竖式，“相同数位对齐，满十进一”成为了加法笔算的基本法则其它三种运算同样如此，“竖式”的产生源于运算需要，竖式的形式表达源于对计算过程的合理呈现15÷ 3 5然而众所周知，除法运算的竖式表达与加、减、乘三种运算的竖式表达有着很大的不同而一般的教材在四则运算的“竖式”教学编排上，采用加、减、乘、除这样的顺序，此时，因为有了加、减、乘三种运算笔算方法的影响，对学生学习除法竖式会产生明显的负迁移执教过除法“竖式”内容的老师都会发现，让学生自主探究除法竖式时，学生自然会列出叠加的形式如计算15÷3，让学生尝试，除了不会算的学生之外，其他学生基本都会用叠加的方式来表达（如右图）当两个数整除时，这样的除法“竖式”表达形式又何尝不可但我们确实知道，除法的竖式与加、减、乘三种运算叠加式的竖式表达形式存在着明显的差异笔者以为，正是因为这种差异，是我们组织学生探究除法竖式表达式的思维节点，实践中，需要思考两个方面1．为什么叠加式的竖式表达式不适合除法运算？这是引导学生体会除法运算与加、减、乘三种运算不同点的重要契机事实上，加、减、乘三种运算的笔算，都是为了利用10以内运算规律，推广到多位数运算，所采用的对位计算规则的体现。
除法竖式同样是利用了对位规则，但除法没有10以内运算规律可推广，所以只能利用乘法计算去进行试算，这就使得除法竖式和乘法竖式在形式上不一样另外，作为乘法的逆运算，除法竖式里使用的是减法，而不是乘法竖式的加法理解乘法和除法竖式计算形式的差别，需要抓住两点：第一，除法是乘法的逆运算；第二，乘法的逆运算在整数集里没有完备定义，因此不可能有完整的“除法口诀”，除法是借助乘法试算来完成的2．怎样的竖式写法才适合除法运算？从上可知，除法的竖式是基于乘法试算的结果它需要有利于试算的过程表达另外，我们也知道，无论是加法、减法还是乘法，其计算结果都只需要一个数据来反应即可例： 3 2 1 5 7 4 5 ＋5 7 － 6 5 × 3 8 9 9 2 1 3 5 23÷ 5 4在这三个竖式中，32加57的结果89，157减65的结果92，45乘以3的结果135等都表示在叠加式竖式的最底层，而这里的89，92，135已能够精确的表示出这三个竖式计算的最后结果，再复杂的加、减、乘运算都能够通过这样的竖式表达方式来完整的表示出来。
而这样的表达方式用在除法里时，却存在一个问题，即最底层的数有时候能够表示除法运算的最后结果，有时候却不能如计算23÷5，当用叠加式来表达时，最底层的4还不能够精确地表示运算结果此时，叠加式就显出其局限性了而且，如果碰到数字比较复杂，需要借助乘法进行试算时，叠加式又没有合适的位置来表达试算的过程于是，探究一种适合除法本身特点的竖式计算形式就显得很有必要了二、探究“形式”的过程是一个深刻理解算理的过程除法“竖式”的完整认识，需经历两个层次：一是除法竖式的“引出”，二是连续计算时的“分层”书写引出”即是指当用与加、减、乘三种运算的竖式书写形式解决不了除法笔算问题时，学生探寻适合除法特点的竖式书写形式的过程而“分层”则即指用除法竖式计算时，多步计算中“建造两层，三层，乃至四层、五层的‘楼房’”的表示过程，是理解除法笔算算理的重要步骤学生正是在探究中，逐步明白“除法竖式为什么与加、减、乘三种运算不同”、“为什么会出现分层”、“每一层的运算分别表达了怎样的运算意义”等问题在人教版教材的编排中，“引出”和“分层”两个层次的内容教学被安排在两个时间段，“除法竖式的引出”安排在三年级上册“有余数除法”单元，“竖式中的多步计算”安排在三年级下册“除数是一位数除法”这一单元。
结合除法的意义来思考，除法竖式教学的两个层次，均是因除法运算中的余数造成的理解相关计算步骤中“余数”的确切含义，是把握除法竖式计算过程的关键现结合教材作一简要的分析三年级上册“有余数除法”单元例2“一共有23盆花，每组摆5盆，求最多可以摆几组”的问题竖式计算如教材中所示而在此之前，教材编排引出竖式的是15÷3算式笔者以为，用15÷3来引出除法竖式，不合适因为这个算式学生用叠加式来表达的话，也不会碰到障碍而用例2有余数的除法来引出竖式的话，学生在用叠加式表达时会产生一定障碍，即没有办法处理余数3此时，学生产生探究适合于除法运算的竖式计算方法的需要显得比较自然了笔者以为，例2不应该仅仅作为教学有余数除法中“余数意义”的例题，它更应该成为除法“竖式”应用“‘厂’字式”表达的学习材料 三年级下册“除数是一位数除法”笔算例2“2个四年级班的学生共种树52棵，平均每个班种树多少棵？”竖式如右教材表示同样在此之前教材编排了另外一个习题作为例题：42÷2同样，此题对于分两层计算的引出缺少必要性因为在计算过程中，学生可以用一层便可解决相关的计算（如右图）而如例2这样的问题，学生用一层来计算，便有困难了，因为在计算5除以2后会产生余数1，这个1又得与个位上的2合起来组成12再除以2。
此时，便有了用两层计算的必要了同理，如果再增加一道如432÷3这样的题目的话，便又有分三层来计算的必要性了在以上两个例题中，我们不难看出，除法“竖式”的两个层次，教学时既有运算过程的表达，同时也呈现了一个理解算理的过程三上的例题中，除法竖式里被除数、除数、商各有其位，余数及商乘除数的结果也有其相应的位置，这些位置上的数均需要学生理解三下的例题中，第一次计算后产生的余数的意义，与被除数个位上的数组成的新数的意义等，都能比较清楚的在除法竖式中表示出来，而这也正是需要学生去理解和掌握的内容三、源于问题解决的思考才是有价值的实践表明，学生在数学学习过程中，产生于问题解决的思考，才是有价值的思考从以上分析来看，除法竖式与加、减、乘三种运算的竖式表达式的差异，会促使学生产生问题而这一问题，也正是教师在课堂上引发学生作出思考与探究的动力，是留给学生“从数学的角度提出问题”和“运用已会的方法解决”问题的机会，是一个有价值的教学过程那么在实践中又该如何来设计这样的教学过程呢？我认为需要做到以下三点：1．提供引发学生产生问题的学习材料材料选择是否典型是对问题的产生有直接关系的如在除法竖式引出的教学中，选择例1则不利于学生产生问题，无法体会到除法竖式的特殊性；用例2作为探究的例题，则有利于学生产生问题。
因为此时，学生会碰到实际的困难，需要其想出新表达方式来呈现除法的笔算过程2．给学生尝试的机会当问题产生后，是否给学生尝试解决的机会，同样是引发学生思考，保持学生的思维活跃状态的重要策略学生尝试解决问题的过程，就是一个自主探索的过程，也是一个集思考、实践、解惑于一体的过程这样的过程是培养学生思考能力的关键当学生在笔算23÷5，无法用叠加式表示笔算过程时，就会去尝试探究另外的形成，这种意识是学生思维能力发展的必要基础3．让学生在交流中完善认识显然，尝试探究时，学生更多是个体的思维在起作用为了创造一个团队思维碰撞的机会，则需要为学生设计一个交流思维过程的环节在交流中，既是学生个人成果展示的环节，同时也是他们修正思维缺陷、矫正思维方向的环节，期间可能有困惑，也可能有顿悟，有可能针锋相对，也可能豁然开朗而这些思维层面上的活动，便是学生对除法竖式的认识不断完善、不断明晰的过程也许这个教学环节所花的时间仅仅是一节课的三分之一，甚至不到，但这样一个“问题产生——尝试解决——调整完善”的数学学习过程，却在学生思维能力培养中有着重要的作用而这也正是新课程理念下的课堂教学所追求的。